いろいろな文章題の問題

1 年たつと、父と母の年れいの和は 2 さい、兄と妹の年れいの和も 2 さい増えます。

今の年れいの和を求める

今の兄と妹の年れいの和を $1$ とすると、父と母の年れいの和は $5$ です。

8 年後には、どちらの和も $2\times 8=16$ (さい) 増えるので、

• 兄と妹の和: $1$ と $16$ さい
• 父と母の和: $5$ と $16$ さい

となります。8 年後には父と母の和が兄と妹の和の 3 倍なので、兄と妹の和の 3 倍は「$3$ と $16\times 3=48$ さい」です。これが「$5$ と $16$ さい」と等しいので、
$$5-3=2\text{ にあたるのが }48-16=32\text{ (さい)}$$
よって $1$ にあたるのは $32÷2=16$ (さい) です。

今、兄と妹の年れいの和は 16 さい、父と母の年れいの和は $16\times 5=80$ (さい) です。

2 倍になるときを求める

両方の和は毎年同じ 2 さいずつ増えるので、2 つの和の差はいつも $80-16=64$ (さい) で変わりません。

父と母の和が兄と妹の和の 2 倍になるとき、その差は兄と妹の和の 1 つ分にあたります。つまり、そのときの兄と妹の年れいの和は 64 さいです。

兄と妹の和は今の 16 さいから $64-16=48$ (さい) 増えればよく、1 年に 2 さいずつ増えるので、
$$48÷2=24\text{ (年後)}$$

確かめ: 24 年後、兄と妹の和は 64 さい、父と母の和は $80+48=128$ (さい) で、$128=64\times 2$ です。

答えは 24 年後です。

父と母の年れいの和を「親の和」、兄と妹の年れいの和を「子の和」とよぶ。今の親の和は子の和の 5 倍なので、子の和を 1 とすると親の和は 5。2 人分の年れいはそれぞれ 1 年に 1 才ふえるので、和は 1 年に 2 ずつふえる。8 年後は 2 人分ふえるので、どちらの和も $2\times 8=16$ ふえる。8 年後の親の和は子の和の 3 倍だから、(子の和 + 16) の 3 倍が (親の和 + 16) になる。比で考えると、今の差は $5-1=4$ にあたり、8 年後の差は (3 倍 - 1 倍) = 2 倍の差にあたる。8 年後の親の和と子の和の差は今の差と同じ（どちらも 16 ふえる）なので、今の子の和の 4 倍 = 8 年後の子の和の 2 倍。したがって 8 年後の子の和は今の子の和の 2 倍で、ふえた 16 が今の子の和にあたる。よって今の子の和は 16、親の和は $16\times 5=80$。

さて、親の和が子の和のちょうど 2 倍になるときを考える。親の和と子の和の差は、いつも $80-16=64$ で変わらない。2 倍になるとき、差 64 は子の和の $2-1=1$ 倍分なので、子の和は 64、親の和は 128。子の和は今 16 だから、$64-16=48$ ふえればよい。和は 1 年に 2 ずつふえるので、$48÷2=24$（年後）。

検算: 24 年後、親の和は $80+48=128$、子の和は $16+48=64$。$128÷64=2$ で、ちょうど 2 倍。8 年後は $96$ と $32$ で 3 倍、今は $80$ と $16$ で 5 倍となり、条件に合う。