整数の性質の問題

約分すると $\frac{7}{12}$ になるので、もとの分数は、$\frac{7}{12}$ の分子と分母に同じ整数（□ とします）をかけたものです。
$$\text{分子}=7\times \square ,\text{分母}=12\times \square$$

$7$ と $12$ は $1$ 以外に公約数をもたないので、分子と分母の最大公約数はちょうど □ になります。
また、$7$ と $12$ の最小公倍数は $84$ なので、分子と分母の最小公倍数は $84\times \square$ になります。

最大公約数と最小公倍数の和は
$$\square +84\times \square =85\times \square$$
で、これが $340$ なので
$$\square =340÷85=4$$
よって、もとの分数は
$$\frac{7\times 4}{12\times 4}=\frac{28}{48}$$

確かめ: $28=2\times 2\times 7$, $48=2\times 2\times 2\times 2\times 3$ なので、最大公約数は $4$、最小公倍数は $2\times 2\times 2\times 2\times 3\times 7=336$ で、$4+336=340$ となり条件に合います。
よって、もとの分数の分母は $48$ です。

約分して $\frac{7}{12}$ になるので、もとの分子は $7$ の、分母は $12$ の同じ数（○とします）倍です。つまり、もとの分子 $=7\times ○$、分母 $=12\times ○$。$7$ と $12$ は $1$ 以外の公約数をもたないので、最大公約数は $○$ になります。

最小公倍数は、$○$ に $7$ と $12$ をかけたものになるので $○\times 7\times 12=○\times 84$。

最大公約数と最小公倍数の和は $○\times 1+○\times 84=○\times 85$ で、これが $340$ なので $○=340÷85=4$。

もとの分数は $\frac{28}{48}$、分母は $12\times 4=48$。

検算: $28$ と $48$ の最大公約数は $4$、最小公倍数は $336$（$28\times 48÷4$）。和は $4+336=340$ で合います。