ある分数を約分すると になります。もとの分数の分母と分子の和は です。もとの分数の分母はいくつですか。
約分する前の分数を求める
約分すると になる分数を と考え、分母と分子の和や差、最大公約数・最小公倍数の条件から、もとの分数を求められる
前提
- 最大公約数と最小公倍数 （算数 整数の性質）
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- 約数の見つけ方 （算数 整数の性質）
- 最大公約数と最小公倍数 （算数 整数の性質）
説明
約分したあとの分数（たとえば ）と、もとの分数についての手がかり（分母と分子の和や差、最大公約数、最小公倍数など）から、約分する前のもとの分数を求められるようになります。中学入試では「約分すると になる分数のうち、分母と分子の和が 68 のものは？」のような形でよく出てきます。ポイントは、もとの分数を と表して、□ にあてはまる数を見つけることです。
なぜそうしてよいのか
約分とは、分母と分子を同じ数（最大公約数）でわることでした。そこで、逆にたどると、約分して になる分数は、 の分母と分子に同じ整数 □ をかけたもの、つまり の形をしています。 と の最大公約数は なので、 はこれ以上約分できず、もとの分数はかならずこの形になります。
この形にすると、分子は「5 が □ こ分」、分母は「12 が □ こ分」と考えられます。すると、分母と分子の和は 、差は になります。線分図で、分子を 5 目もり、分母を 12 目もりと見て、1 目もりが □ だと考えるのと同じです。
また、 と には 1 以外の共通の約数がないので、 と の最大公約数はちょうど □ になり、最小公倍数は になります。このように、どの手がかりも「□ の何倍か」で表せるので、わり算で □ を求められます。
手順
約分したあとの分数が、これ以上約分できない形になっているかを確かめる（なっていなければ先に約分しておく）。
もとの分数を のように、分母と分子に同じ数 □ をかけた形で表す。
手がかりを □ を使って表す。和なら 、差なら 、最大公約数なら □ そのもの、最小公倍数なら 。
手がかりの数をわり算して □ を求める（例: 和が 68 なら □ は ）。
□ を分母と分子にかけて、もとの分数を求め、条件に合うか確かめる。
例題
約分すると になる分数のうち、分母と分子の和が 68 になる分数があります。この分数の分母を求めなさい。
例題の解答
手順 1: と の最大公約数は なので、 はこれ以上約分できない形です。
手順 2: もとの分数は と表せます。
手順 3: 分母と分子の和は です。
手順 4: これが 68 なので、□ は です。
手順 5: もとの分数は です。確かめると、 で、 と の最大公約数 でわると になります。
よって、分母は 48 です。
答え:
よくある誤り
分母と分子に別々の数をかけてしまう誤り（例: ）。正しくは、分母と分子に同じ数 □ をかけた の形になる。
和が 68 のとき、 や のように片方の数だけでわってしまう誤り。正しくは、和は なので として □ を求める。
最小公倍数が 240 のとき、□ を 240 としたり、 としたりしてしまう誤り。正しくは、 と の最小公倍数は なので、□ は となり、もとの分数は 。
約分したあとの分数が のように、まだ約分できる形で与えられたときに、そのまま としてしまう誤り。正しくは、先に に約分してから とする（たとえば和が 21 のとき、 では □ が整数にならず答えを見落とすが、 なら □ は 3 で、もとの分数は ）。
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。