相似と三平方の定理の問題

高さが $12\text{cm}$ の円錐の形をした容器があります。この容器は、頂点を真下にし、底面（ふちの円）が水平になるように置かれています。この容器に水を入れたところ、水面は水平で、容器の頂点から水面までの深さが $6\text{cm}$ になり、入っている水の体積は $40{\text{cm}}^3$ でした。この容器をいっぱいにするには、あと何 ${\text{cm}}^3$ の水を入れればよいか求めなさい。ただし、容器の厚さは考えないものとします。

母線の長さが $10\text{cm}$、底面の円の半径が $6\text{cm}$ の円錐がある。この円錐の体積は何 ${\text{cm}}^3$ か求めよ。ただし、円周率は $\pi$ とする。

底面の半径が $6\text{cm}$、高さが $9\text{cm}$ の円錐があります。この円錐の高さを $3$ 等分する $2$ つの点を通り、底面に平行な $2$ つの平面で円錐を切り、$3$ つの立体に分けます。このとき、$3$ つの立体のうち真ん中の立体の体積を求めなさい。ただし、円周率は $\pi$ とします。

相似な $2$ つの円柱 $P$、$Q$ があり、$P$ と $Q$ の表面積の比は $4:9$ である。円柱 $P$ の体積が $56\pi {\text{cm}}^3$ のとき、円柱 $Q$ の体積は何 ${\text{cm}}^3$ か求めよ。ただし、円周率は $\pi$ とする。

直方体 $ABCD\text{-}EFGH$ があり、底面は長方形 $ABCD$、上面は長方形 $EFGH$ で、$AE$, $BF$, $CG$, $DH$ はいずれも底面に垂直な辺である。$AB=6\text{cm}$、$BC=4\text{cm}$、$AE=3\text{cm}$ とする。

辺 $BF$ 上に点 $P$ をとり、頂点 $A$ から点 $P$ を通って頂点 $G$ まで、直方体の表面（面 $ABFE$ と面 $BCGF$）に沿って糸をかける。糸の長さ $AP+PG$ がもっとも短くなるとき、その長さは何 $\text{cm}$ か求めよ。