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相似と三平方の定理の問題

難易度 1教科書の例題レベル中学数学相似と三平方の定理

頂点を $A$ とする高さ $9 cm$ の円錐があり、その体積は $270 cm^{3}$ です。頂点 $A$ から底面の中心まで引いた線分（円錐の高さ）の上で、頂点 $A$ から $3 cm$ の点を通り、底面に平行な平面でこの円錐を切ります。切り取られた、頂点 $A$ をふくむ小さい円錐の体積は何 $cm^{3}$ ですか。

A

9 cm

3 cm

この問題で使うもの

相似な立体の体積比（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（21 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

相似な立体の体積比は、相似比の 3 乗になることを使います。

ヒント 2

小さい円錐ともとの円錐は相似で、相似比は高さの比 $3 : 9 = 1 : 3$ です。

ヒント 3

体積比は $1^{3} : 3^{3} = 1 : 27$ です。 $270 cm^{3}$ の何分の一かを考えましょう。

答えと解説

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10

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1. 相似比を求める

円錐を底面に平行な平面で切ると、頂点 $A$ をふくむ小さい円錐は、もとの円錐と相似になります。小さい円錐の高さは、頂点 $A$ から切り口までの長さで $3 cm$ 、もとの円錐の高さは $9 cm$ なので、相似比は
$3 : 9 = 1 : 3$

2. 体積比を求める

相似な立体の体積比は、相似比の 3 乗に等しいので
$1^{3} : 3^{3} = 1 : 27$

3. 小さい円錐の体積を求める

小さい円錐の体積は、もとの円錐の体積の $\frac{1}{27}$ なので
$270 \times \frac{1}{27} = 10 (cm^{3})$

答え: $10 cm^{3}$

別解

小さい円錐と、もとの円錐は相似で、高さの比は $3 : 9 = 1 : 3$ 。体積の比は相似比の 3 乗なので $1^{3} : 3^{3} = 1 : 27$ 。小さい円錐の体積は $270 \times \frac{1}{27} = 10$ cm³。
確かめ：もとの円錐の底面積は $270 \times 3 \div 9 = 90$ cm² 。小さい円錐の底面積は相似比の 2 乗で $90 \times \frac{1}{9} = 10$ cm² 。体積は $10 \times 3 \times \frac{1}{3} = 10$ cm³ で一致。

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