電流と回路の問題

長さ $L$、断面積 $S$ の一様な金属の導体の両端に、電圧 $V$ の電池をつなぐ。導体の左端を電池の正極に、右端を負極につないだ。電池の内部抵抗と導線の抵抗は無視できるので、導体の両端の電圧は $V$ である。導体内には一様な電場が生じているとする。

自由電子の電気量を $-e$（$e>0$）、導体の単位体積あたりの自由電子の数を $n$ とする。自由電子は、電場から受ける力と、速さ $v$ に比例する抵抗力 $kv$（$k$ は正の定数）がつりあって、一定の速さ $v$ で動いているものとする。

このとき、導体を流れる電流の大きさ $I$ を、$e$, $n$, $S$, $V$, $k$, $L$ を用いて表せ。

同じ金属でできた 2 本の円柱形の導線をつないで、1 本の導体をつくった。部分 1 は長さ $L$、断面積 $S$、部分 2 は長さ $L$、断面積 $2S$ で、部分 1 の一端と部分 2 の一端が接合されている。この導体の両端（部分 1 の接合されていない端と、部分 2 の接合されていない端）のあいだに一定の電圧 $V$ を加えた。

金属中の自由電子について、次のモデルで考える。自由電子 1 個の電気量は $-e$ で、単位体積あたりの自由電子の数は $n$ である。各部分の中では、電場は導体の軸に平行で一様であり、自由電子は電場から受ける力のほかに、速さ $v$ に比例する大きさ $kv$（$k$ は正の定数）の抵抗力を運動の向きと逆向きに受ける。自由電子の運動は定常的で、各部分の中で一定の速さで動いているものとする。接合部の抵抗や、接合部付近での電場の乱れは無視する。

部分 1 の中での自由電子の速さを、$e$, $V$, $k$, $L$ を用いて表せ。

2 つの点 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$ のあいだが、次の 3 本の枝でつながれた回路がある。$\mathrm{P}$ が上、$\mathrm{Q}$ が下にあり、3 本の枝は左から順に並んでいる。

• 左の枝: 起電力 $2E$ の電池と抵抗値 $R$ の抵抗を直列につないだもの。電池の正極は $\mathrm{P}$ 側に向いている。
• 中央の枝: 抵抗値 $R$ の抵抗だけ。
• 右の枝: 起電力 $E$ の電池と抵抗値 $R$ の抵抗を直列につないだもの。電池の正極は $\mathrm{P}$ 側に向いている。

電池の内部抵抗と導線の抵抗は無視できるものとする。$E>0$, $R>0$ である。中央の枝の抵抗を $\mathrm{P}$ から $\mathrm{Q}$ の向きに流れる電流の大きさを、$E$, $R$ を用いて表せ。

起電力 $24\mathrm{V}$ の電池に、抵抗値 $4.0\Omega$ の抵抗 $R_1$ と、抵抗値 $6.0\Omega$ の抵抗 $R_2$、抵抗値 $12\Omega$ の抵抗 $R_3$ をつないだ回路がある。$R_2$ と $R_3$ は並列に接続されていて、この並列部分が $R_1$ と直列に接続され、その両端が電池につながっている。電池の内部抵抗と導線の抵抗は無視できるものとする。$R_2$ を流れる電流の大きさは何 A か。有効数字 2 桁で答えよ。

図のように、起電力 $E_1=8\mathrm{V}$ の電池、起電力 $E_2=4\mathrm{V}$ の電池と、抵抗値 $R_1=2\Omega$、$R_2=2\Omega$、$R_3=1\Omega$ の抵抗をつないだ回路がある。回路には 2 つの分岐点 $\mathrm{P}$（上）と $\mathrm{Q}$（下）があり、$\mathrm{P}$ と $\mathrm{Q}$ のあいだは次の 3 本の道すじでつながっている。

• 左の道すじ：$\mathrm{Q}$ から電池 $E_1$ を通り、抵抗 $R_1$ を通って $\mathrm{P}$ に至る。電池 $E_1$ は正極が $R_1$ の側（上側）を向いている。
• 中央の道すじ：$\mathrm{P}$ と $\mathrm{Q}$ のあいだに抵抗 $R_3$ だけがある。
• 右の道すじ：$\mathrm{Q}$ から電池 $E_2$ を通り、抵抗 $R_2$ を通って $\mathrm{P}$ に至る。電池 $E_2$ は正極が $R_2$ の側（上側）を向いている。

電池の内部抵抗と導線の抵抗は無視できるものとする。抵抗 $R_3$ を流れる電流の大きさは何 A か。