電流と回路の問題

手順 1: 電流を未知数とおく

各枝を流れる電流を次のようにおく。
- 左の枝を $\mathrm{Q}$ から $\mathrm{P}$ の向き（上向き）に流れる電流: $I_1$
- 右の枝を $\mathrm{Q}$ から $\mathrm{P}$ の向き（上向き）に流れる電流: $I_2$
- 中央の枝を $\mathrm{P}$ から $\mathrm{Q}$ の向き（下向き）に流れる電流: $I_3$

（向きは仮に決めたもので、計算結果が負になれば実際は逆向きということになる。）

手順 2: 第 1 法則（分岐点での電流の保存）

点 $\mathrm{P}$ に流れこむ電流は $I_1$, $I_2$、流れ出る電流は $I_3$ なので
$$I_1+I_2=I_3(1)$$

手順 3: 第 2 法則（閉回路で 起電力の和 = 電圧降下の和）

左の枝と中央の枝でできる閉回路を、左の枝を上向き（$\mathrm{Q}\to \mathrm{P}$）、中央の枝を下向き（$\mathrm{P}\to \mathrm{Q}$）にたどる。この向きに電池 $2E$ は電位を上げ、電流 $I_1$, $I_3$ はどちらもたどる向きに流れているので
$$2E=R{I}_1+R{I}_3(2)$$

右の枝と中央の枝でできる閉回路を、右の枝を上向き、中央の枝を下向きにたどると、同様に
$$E=R{I}_2+R{I}_3(3)$$

手順 4: 連立方程式を解く

$(2)$ と $(3)$ を辺々たすと
$$3E=R(I_1+I_2)+2R{I}_3$$
$(1)$ より $I_1+I_2=I_3$ を代入して
$$3E=R{I}_3+2R{I}_3=3R{I}_3$$
$$I_3=\frac{E}{R}$$

$I_3>0$ なので、仮に決めた向き（$\mathrm{P}$ から $\mathrm{Q}$）が正しい。

（参考: $(2)$ より $I_1=\frac{2E}{R}-\frac{E}{R}=\frac{E}{R}$、$(3)$ より $I_2=\frac{E}{R}-\frac{E}{R}=0$ となり、$(1)$ も満たしている。）

よって求める電流の大きさは $\frac{E}{R}$ である。

P の電位を V、Q の電位を 0 とおく。各枝で P から Q へ流れる電流を I₁, I₂, I₃ とする。

左の枝: 正極が P 側なので、電池によって P 側の電位が Q 側より 2E 高くなる。P から Q へ流れる電流は、V = 2E − R·I₁ より I₁ = (2E − V)/R。

中央の枝: V = R·I₂ より I₂ = V/R。

右の枝: 同様に I₃ = (E − V)/R。

電流保存則 I₁ + I₂ + I₃ = 0 (P から出る電流の和は 0) より、
(2E − V) + V + (E − V) = 0
3E − V = 0
V = 3E

したがって I₂ = 3E/R。

検算: I₁ = (2E − 3E)/R = −E/R、I₃ = (E − 3E)/R = −2E/R、I₂ = 3E/R。和は −E/R − 2E/R + 3E/R = 0 で成り立つ。

別の見方として、3 本の枝を並列とみなすと、P と Q の間の電圧は V = 3E となる。

これは電源の向きと整合している。P 側が正極の電池が 2 つあり、中央の枝には電池がないので、この電流は P から Q へ流れる。ただし、ここで P の電位を求める際には、P 点と Q 点のあいだで電流の収支を考えたことに注意する。つまり I₁ + I₂ + I₃ = 0 とすると P への流入と流出の合計が 0 となるので、条件は満たされている。

よって、中央の枝を P から Q の向きに流れる電流の大きさは 3E/R である。

なお、電池は P 側が正極なので、電池は P から Q へ電流を流そうとする。左右の枝では電流が Q から P の向きに流れており、電池が充電される向きになっているように見えるが、これは上の計算の符号の誤りを疑う必要がある。もう一度確認する。

左の枝を P→Q の向きにたどると、P から電池の正極に入り、負極から出るので電位は 2E 下がる。ところが、P を基準に Q までの電位差を考えると、P の電位は電池の正極側であるため、左の枝の電位降下は P→Q で 2E 下がる方向ではなく、電池の起電力は正極の電位の方が高い向きに働く。電池の正極が P 側ということは、電池の両端では P 側のほうが高電位である。左の枝について P から Q までの電位変化は −2E − R·I₁ (I₁ は P→Q の電流) となり、Q の電位 0 に等しくなるので、V − 2E − R·I₁ = 0 となる。ここで V は P の電位ではなく、抵抗の電位を考える際の電池の P 側の電位であるから、直列の電池が P 側を正極にしている場合、V = 2E + R·I₁、すなわち I₁ = (V − 2E)/R となる。

正しくは、P→Q に電流 I₁ が流れるとき、抵抗では R·I₁ 下がり、電池は正極から負極へ通過するので 2E 下がる、というのは誤りで、電池を負極から正極に通過すると電位が上がり、正極から負極へ通過すると下がる。P から入ると、電池を正極から負極に通るので E_battery 分だけ下がる。この場合 V = 2E + R·I₁ となり、I₁ = (V − 2E)/R。同様に I₂ = V/R、I₃ = (V − E)/R。

電流保存則: (V − 2E) + V + (V − E) = 0 より 3V = 3E、V = E。

I₂ = V/R = E/R。

検算: I₁ = (E − 2E)/R = −E/R、I₃ = 0、I₂ = E/R。和は 0 で成り立つ。

したがって答えは E/R である。