電流と回路の問題

長さ $L$、断面積 $S$ の一様な金属の導体の両端に、電圧 $V$ の電池をつなぐ。導体の左端を電池の正極に、右端を負極につないだ。電池の内部抵抗と導線の抵抗は無視できるので、導体の両端の電圧は $V$ である。導体内には一様な電場が生じているとする。

自由電子の電気量を $-e$（$e>0$）、導体の単位体積あたりの自由電子の数を $n$ とする。自由電子は、電場から受ける力と、速さ $v$ に比例する抵抗力 $kv$（$k$ は正の定数）がつりあって、一定の速さ $v$ で動いているものとする。

このとき、導体を流れる電流の大きさ $I$ を、$e$, $n$, $S$, $V$, $k$, $L$ を用いて表せ。

長さ $L$、断面積 $S$ の一様な金属の導体の両端に、電圧 $V$ を加える。導体内には大きさ $\frac{V}{L}$ の一様な電場ができる。導体内の自由電子（電気量 $-e$、$e>0$）は、単位体積あたり $n$ 個ある。自由電子は電場から力を受け、さらに速さ $v$ に比例する抵抗力 $kv$（$k$ は正の定数）を進む向きと逆向きに受ける。自由電子は、この 2 つの力がつりあう一定の速さで動くものとする。このとき導体を流れる電流の大きさ $I$ を、$e$, $n$, $S$, $V$, $k$, $L$ を用いて表せ。

起電力 $E$、内部抵抗 $r$ の電池がある。抵抗値 $2r$ の抵抗 $\mathrm{P}$ と、抵抗値 $R$ を自由に変えられる可変抵抗 $\mathrm{Q}$ を並列に接続し、この並列部分の両端を電池の正極と負極につないだ。

$R$ をいろいろに変えたとき、可変抵抗 $\mathrm{Q}$ で消費される電力の最大値を、$E$, $r$ を用いて表せ。ただし、導線の抵抗は無視でき、抵抗 $\mathrm{P}$ の抵抗値と電池の起電力・内部抵抗は一定とする。

長さ $100\mathrm{cm}$ の、太さと材質が一様な抵抗線 $\mathrm{AB}$ を使って、次のような回路（メートルブリッジ）をつくった。

• 抵抗値 $24\Omega$ の抵抗 $R_0$ を点 $\mathrm{A}$ と点 $\mathrm{C}$ のあいだに、抵抗値のわからない抵抗 $R_x$ を点 $\mathrm{C}$ と点 $\mathrm{B}$ のあいだにつなぐ
• 点 $\mathrm{A}$ と点 $\mathrm{B}$ のあいだに電池をつなぐ
• 点 $\mathrm{C}$ と、抵抗線上を動かせる接点 $\mathrm{P}$ とのあいだに検流計 $\mathrm{G}$ をつなぐ

$\mathrm{AP}=60\mathrm{cm}$ のとき、$\mathrm{G}$ に電流が流れなかった。次に、抵抗値 $48\Omega$ の抵抗を $R_0$ に並列につないで、接点 $\mathrm{P}$ を動かした。$\mathrm{G}$ に電流が流れなくなるときの $\mathrm{AP}$ の長さは何 cm か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、導線の抵抗は無視できるものとする。

起電力 $10\mathrm{V}$ で内部抵抗の無視できる電池、電気容量 $2.0\mu \mathrm{F}$ のコンデンサー $C_1$、電気容量 $3.0\mu \mathrm{F}$ のコンデンサー $C_2$、抵抗値 $2.0\Omega$ の抵抗 $R_1$、抵抗値 $3.0\Omega$ の抵抗 $R_2$、スイッチ $\mathrm{S}$ を使って、次のような回路をつくった。

• $C_1$ と $C_2$ を点 $\mathrm{M}$ で直列につなぎ、$C_1$ 側の端を電池の正極に、$C_2$ 側の端を電池の負極につなぐ
• $R_1$ と $R_2$ を点 $\mathrm{N}$ で直列につなぎ、$R_1$ 側の端を電池の正極に、$R_2$ 側の端を電池の負極につなぐ
• 点 $\mathrm{M}$ と点 $\mathrm{N}$ のあいだにスイッチ $\mathrm{S}$ をつなぐ

はじめ、$\mathrm{S}$ は開いていて、2 つのコンデンサーは電荷をもたない状態から電池につながれ、十分に時間がたっていた。次に $\mathrm{S}$ を閉じ、十分に時間がたった。$\mathrm{S}$ を閉じてから十分に時間がたつまでに、$\mathrm{S}$ を通過した電気量の大きさは何 $\mu \mathrm{C}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、導線とスイッチの抵抗は無視できるものとする。