2 バンド模型のチャーン数

$h (k) = d (k) \cdot σ$ の形の 2 バンド模型で、 $d^$ がブリルアン域で球面を覆う回数やディラック点での質量の符号変化から、チャーン数 $C = \frac{1}{4 π} \int d^{2} k d^\cdot (\partial_{k_{x}} d^\times \partial_{k_{y}} d^)$ を求められる

前提

強束縛模型とブロッホ・ハミルトニアン（大学院物理多体系の量子論・物性理論）
空間ベクトルの外積（大学数学ベクトル解析）

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算数中学高校大学大学院

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説明

2 行 2 列のブロッホ・ハミルトニアン $h (k) = d (k) \cdot σ$ で表される 2 バンド模型について、そのバンドの位相的な整数であるチャーン数 $C$ を、積分を実際に実行せずに求められるようになります。 $d (k)$ の成分を見て、単位ベクトル $d^= d /∣ d ∣$ が球面を何回（向き付きで）覆うかを数えます。量子異常ホール効果（ホール伝導度が $C$ に比例して量子化される）や、パラメータを変えたときの位相転移の判定に使います。

なぜそうしてよいのか

単位ベクトル $d^(k)$ は半径 1 の球面上の点です。 $k$ を $(k_{x}, k_{y})$ から $(k_{x} + d k_{x}, k_{y})$ 、 $(k_{x}, k_{y} + d k_{y})$ に動かすと、球面上の点は $\partial_{k_{x}} d^d k_{x}$ 、 $\partial_{k_{y}} d^d k_{y}$ だけ動きます。この 2 つのベクトルが張る小さな平行四辺形の面積は外積の大きさ $∣ \partial_{k_{x}} d^\times \partial_{k_{y}} d^∣ d k_{x} d k_{y}$ で、 $∣ d^∣ = 1$ より両方の微分は $d^$ に垂直なので、外積は球面の法線 $d^$ と平行です。したがって $d^\cdot (\partial_{k_{x}} d^\times \partial_{k_{y}} d^) d k_{x} d k_{y}$ は「球面上で $d^$ が掃いた面積に、向きの符号（外向き法線から見て反時計回りなら $+$ ）を付けたもの」です。これをブリルアン域全体で足し、球面の全面積 $4 π$ で割ったものがチャーン数 $C$ です。

ブリルアン域は $k_{x}, k_{y}$ の両方向に周期的で端がない（トーラス）ので、 $∣ d (k) ∣ \neq = 0$ （ギャップが開いている）限り、像は球面を「すきまなく、ちょうど整数回」覆います。正の向きで覆う部分と負の向きで覆う部分が打ち消し合った正味の回数が $C$ で、これは球面上のどの点で数えても同じ値になります。そこで、球面上の 1 点、たとえば北極 $(0, 0, 1)$ を選び、 $d^(k) = (0, 0, 1)$ となる $k$ 、すなわち $d_{x} = d_{y} = 0$ かつ $d_{z} > 0$ の点を探して、各点の向きの符号を足せばよいのです。

その点の近くでは $d^\approx (d_{x} / d_{z}, d_{y} / d_{z}, 1)$ なので、球面上の動きは平面の写像 $(k_{x}, k_{y}) \mapsto (d_{x}, d_{y}) / d_{z}$ と同じで、 $d_{z} > 0$ のとき向きの符号はヤコビアン $J = det \frac{\partial ( d _{x} , d _{y} )}{\partial ( k _{x} , k _{y} )} = \partial_{k_{x}} d_{x} \partial_{k_{y}} d_{y} - \partial_{k_{y}} d_{x} \partial_{k_{x}} d_{y}$ の符号です（上の外積の $z$ 成分の符号と一致します）。こうして $C = \sum_{d_{x} = d_{y} = 0, d_{z} > 0} sgn J$ が得られます。南極 $(0, 0, - 1)$ で数えるなら、外向き法線が $- z$ 向きなので符号が反転し、 $C = - \sum_{d_{x} = d_{y} = 0, d_{z} < 0} sgn J$ です。両方で数えて一致すれば検算になります。また、 $∣ d ∣$ が大きな定数成分で支配される極限では $d^$ がほぼ一定方向を向き球面を覆わないので $C = 0$ で、 $C$ が変わりうるのはどこかで $d = 0$ （ギャップが閉じる）となるときだけです。その点の近くで $d \approx (v_{x} q_{x}, v_{y} q_{y}, M)$ と書くと、この点は $d^$ に半球分（立体角 $2 π$ ）を与え、その寄与は $\frac{1}{2} sgn (v_{x} v_{y}) sgn M$ です。よって質量 $M$ が負から正に符号を変えると $C$ は $sgn (v_{x} v_{y})$ だけ変わります。

手順

$h (k)$ を $d_{x} σ_{x} + d_{y} σ_{y} + d_{z} σ_{z}$ の形に書き、 $d (k) = (d_{x}, d_{y}, d_{z})$ を読み取る（単位行列の項はバンドを平行移動するだけなので $C$ に影響しない）。
ブリルアン域で $d (k) \neq = 0$ であること（ギャップが開いていること）を確かめる。どこかで $d = 0$ なら $C$ は定まらない。
$d_{x} (k) = d_{y} (k) = 0$ となる点 $k$ をブリルアン域内ですべて求め、各点での $d_{z}$ の符号を調べる。
各点でヤコビアン $J = \partial_{k_{x}} d_{x} \partial_{k_{y}} d_{y} - \partial_{k_{y}} d_{x} \partial_{k_{x}} d_{y}$ を計算する（ $J = 0$ の点があれば、北極以外の方向を選び直す）。
$C = \sum_{d_{z} > 0} sgn J$ を計算する。検算として $C = - \sum_{d_{z} < 0} sgn J$ と一致することを確かめる。
（パラメータ依存を調べるとき）ギャップが閉じる点で $d \approx (v_{x} q_{x}, v_{y} q_{y}, M)$ と展開し、 $M$ が負から正に変わるたびに $C$ が $sgn (v_{x} v_{y})$ だけ変わることを、 $C = 0$ の自明な極限から積み上げて使う。

例題

正方格子（格子定数 1）上の 2 バンド模型
$h (k) = sin k_{x} σ_{x} + sin k_{y} σ_{y} + (1 - cos k_{x} - cos k_{y}) σ_{z}$
を考える。ブリルアン域は $- π < k_{x} \leq π, - π < k_{y} \leq π$ とし、 $d^= d /∣ d ∣$ として、チャーン数
$C = \frac{1}{4 π} \int_{BZ} d^{2} k d^\cdot (\partial_{k_{x}} d^\times \partial_{k_{y}} d^)$
を求めよ。

例題の解答

手順 1: $d (k) = (sin k_{x}, sin k_{y}, 1 - cos k_{x} - cos k_{y})$ である。

手順 2: $d = 0$ となるには $sin k_{x} = sin k_{y} = 0$ 、つまり $k_{x}, k_{y} \in {0, π}$ が必要で、そこでの $d_{z}$ は下のとおりどれも 0 でない。よってギャップは開いていて $C$ は定まる。

手順 3: $d_{x} = d_{y} = 0$ となる点は $(0, 0), (π, 0), (0, π), (π, π)$ の 4 点。 $d_{z}$ はそれぞれ
$(0, 0)$ : $1 - 1 - 1 = - 1$ 、 $(π, 0)$ : $1 + 1 - 1 = 1$ 、 $(0, π)$ : $1$ 、 $(π, π)$ : $1 + 1 + 1 = 3$ 。

手順 4: $d_{x}$ は $k_{x}$ だけ、 $d_{y}$ は $k_{y}$ だけの関数なので $J = cos k_{x} cos k_{y}$ 。
$(0, 0)$ : $J = 1$ 、 $(π, 0)$ : $J = - 1$ 、 $(0, π)$ : $J = - 1$ 、 $(π, π)$ : $J = 1$ 。どれも 0 でない。

手順 5: $d_{z} > 0$ の点は $(π, 0), (0, π), (π, π)$ なので
$C = (- 1) + (- 1) + (+ 1) = - 1.$
検算: $d_{z} < 0$ の点は $(0, 0)$ だけで、 $C = - sgn J = - 1$ 。一致する。

（手順 6 による確認） $1$ を大きな $m$ に置き換えた $d_{z} = m - cos k_{x} - cos k_{y}$ で $m > 2$ なら 4 点とも $d_{z} > 0$ で $C = 1 - 1 - 1 + 1 = 0$ 。 $m$ を下げて $m = 2$ を横切るとき $(0, 0)$ でギャップが閉じ、近くで $d \approx (q_{x}, q_{y}, m - 2)$ 、 $v_{x} v_{y} = 1$ で、質量 $M = m - 2$ は正から負に変わるので $C$ は $1$ 減って $- 1$ になる。 $0 < m < 2$ の $m = 1$ でも $C = - 1$ で、結果と一致する。

答え: $- 1$

よくある誤り

$d_{x} = d_{y} = 0$ かつ $d_{z} > 0$ の点の個数をそのまま $C$ としてしまう誤り。例題では 3 点あるが $C = 3$ ではない。正しくは各点にヤコビアンの符号を付けて $C = \sum sgn (cos k_{x} cos k_{y}) = - 1 - 1 + 1 = - 1$ とする。
北極で数えているのに $d_{z} < 0$ の点まで足してしまう、または南極で数えるときに符号を反転し忘れる誤り。正しくは $C = \sum_{d_{z} > 0} sgn J = - \sum_{d_{z} < 0} sgn J$ で、例題では $(0, 0)$ は北極の数え上げに入れない。
ディラック点での速度の符号を落とす誤り。 $k = π$ のまわりでは $sin (π + q) \approx - q$ なので $v = - 1$ である。たとえば $(π, π)$ では $d \approx (- q_{x}, - q_{y}, M)$ で $v_{x} v_{y} = + 1$ 、 $(π, 0)$ では $d \approx (- q_{x}, q_{y}, M)$ で $v_{x} v_{y} = - 1$ となる。
ギャップが閉じているパラメータでも $C$ を求めてしまう誤り。例えば $d_{z} = m - cos k_{x} - cos k_{y}$ で $m = 0$ のとき $(π, 0)$ で $d = 0$ となり $d^$ が定義できないので、 $C$ は定まらない（ $m = 0, \pm 2$ は位相転移点）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

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