大地の変化の問題
ある地域の 4 つの地点 A, B, C, D でボーリング調査を行った。地点 B は地点 A の真東 、地点 C は地点 A の真北 のところにある。地点 D は、地点 A から真東に 進み、そこから真北に 進んだところにある。調査の結果は次のとおりである。
- 地点 A（標高 ）: 深さ から までが泥岩の層、 から までが凝灰岩の層、 から までが砂岩の層、 より深いところはれき岩の層であった。
- 地点 B（標高 ）: 深さ から までが泥岩の層で、深さ のところから凝灰岩の層が始まっていた。
- 地点 C（標高 ）: 地表から深さ のところで、砂岩の層かられき岩の層に変わっていた。
- 地点 D: 地表から深さ のところで、砂岩の層かられき岩の層に変わっていた。
この地域の地層は、それぞれ一定の厚さで平行に重なっており、ある方向に一定の割合で傾いている。また、断層やしゅう曲、地層の上下の逆転はないものとする。地点 D の地表の標高は何 m ですか。
この問題で使うもの
- 一定の割合で傾く地層（説明と入口の問題）
- 標高を使った地層の比較（説明と入口の問題）
ヒント
行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。
ヒント 1
同じ層（たとえば凝灰岩の層の上面）の標高を、各地点で求めて比べましょう。地点 C と地点 D は凝灰岩ではなく砂岩とれき岩の境目の深さが与えられているので、地点 A から各層の厚さを読み取って使います。
ヒント 2
凝灰岩の層の上面は、砂岩とれき岩の境目より 高い位置にあります。A と B を比べると東西方向の傾き、A と C を比べると南北方向の傾きがわかり、東へ進んだときと北へ進んだときの高さの変化は別々に足し合わせられます。
ヒント 3
凝灰岩の層の上面の標高は、A で 、B で 、C で です。つまり東へ 進むごとに 低くなり、北へ 進むごとに 高くなります。これを使って地点 D での凝灰岩の層の上面の標高を求め、そこから砂岩とれき岩の境目の標高を出しましょう。
答えと解説
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解説を読む
1. 各層の厚さを地点 A の結果から読み取る
地点 A では、凝灰岩の層は深さ から なので厚さ 、砂岩の層は深さ から なので厚さ である。地層はそれぞれ一定の厚さで重なっているので、どの地点でもこの厚さは同じである。したがって、凝灰岩の層の上面は、れき岩の層の上面（砂岩とれき岩の境目）より 高い。
2. 凝灰岩の層の上面の標高を各地点で求める
- 地点 A:
- 地点 B:
- 地点 C: れき岩の層の上面の標高は 。凝灰岩の層の上面はこれより 高いので
3. 東西方向・南北方向の傾きを調べる
- 東西方向: A から真東に 進むと、凝灰岩の層の上面は 低くなる。傾きは一定なので、東に 進むごとに 低くなる。
- 南北方向: A から真北に 進むと、凝灰岩の層の上面は 高くなる。北に 進むごとに 高くなる。
地層は一定の割合で傾いた平らな面なので、東へ進んだときの変化と北へ進んだときの変化は、それぞれ別々に足し合わせればよい。
4. 地点 D での凝灰岩の層の上面の標高
地点 D は A から東へ 、北へ の位置にある。
- 東へ : 低くなる
- 北へ : 高くなる
よって、地点 D での凝灰岩の層の上面の標高は
5. 地点 D の地表の標高
地点 D でのれき岩の層の上面（砂岩とれき岩の境目）の標高は である。この境目が地表から深さ にあるので、地点 D の地表の標高は
（確かめ: 地点 D では凝灰岩の層の上面が深さ 、砂岩の層が深さ から にあり、矛盾しない。）
答え:
別解
A を原点とし、東を x 方向、北を y 方向（単位 m）とする。B は (400, 0)、C は (0, 300)、D は (200, 600) である。地層は平行で一定の割合で傾いているので、どの層の境界面も同じ傾きの平面になる。したがって、層の境界面の標高は、基準面の標高に a×x + b×y を加えた形で表せる（a, b は東・北へ 1 m 進むときの標高の変化）。
1. 凝灰岩の層の上面の標高を使って a を求める。
地点 A では 120 − 15 = 105 m、地点 B では 110 − 13 = 97 m。
B は A の真東 400 m にあり、標高差は 97 − 105 = −8 m。
よって a = −8 ÷ 400 = −0.02 m/m で、東へ 1 m 進むごとに 0.02 m 低くなる。
2. 砂岩とれき岩の境界面の標高を使って b を求める。
地点 A では 120 − 23 = 97 m、地点 C では 126 − 26 = 100 m。
C は A の真北 300 m にあり、標高差は 100 − 97 = +3 m。
よって b = 3 ÷ 300 = 0.01 m/m で、北へ 1 m 進むごとに 0.01 m 高くなる。
3. 地点 D での砂岩とれき岩の境界面の標高を求める。
D は A から東へ 200 m、北へ 600 m の位置にある。
97 + (−0.02)×200 + 0.01×600 = 97 − 4 + 6 = 99 m。
4. 地点 D の地表の標高を求める。
D では深さ 25 m のところが境界面なので、地表の標高は 99 + 25 = 124 m。
検算：A から D への標高変化は、東へ 200 m で −4 m、北へ 600 m で +6 m、合計 +2 m。境界面の深さは A で 23 m、D で 25 m なので、地表の標高差は 2 + (25 − 23) = 4 m、つまり 120 + 4 = 124 m となり、一致する。