能動輸送（ナトリウムポンプ）の量的関係

受動的な流入と能動的な排出がつり合って細胞内濃度が一定に保たれることと、ナトリウムポンプが ATP $1$ 分子あたり $Na^{+}$ $3$ 個を排出し $K^{+}$ $2$ 個を取り込むことから、ポンプが分解する ATP の数や輸送されるイオンの数を求められる

前提

単純拡散と濃度勾配（高校生物細胞と分子）

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細胞のつくり（中学理科生物分野の用語と知識）
生物の共通性と原核細胞・真核細胞（高校生物細胞と分子（知識））
細胞膜の構造と受動輸送・能動輸送（高校生物細胞と分子（知識））
単純拡散と濃度勾配（高校生物細胞と分子）

説明

細胞の中の $Na^{+}$ 濃度は細胞の外よりずっと低く、 $K^{+}$ 濃度は外よりずっと高く保たれています。この技能では、イオンが濃度勾配にしたがって受動的にもれ出入りする量と、ナトリウムポンプが ATP を使って逆向きに運ぶ量がつり合っていることを使い、ポンプが 1 秒あたりに分解する ATP の数や、運ばれる $Na^{+}$ ・ $K^{+}$ の数を求められるようになります。神経細胞や赤血球などで、イオンの出入りの量からエネルギーの消費量を見積もる場面で使います。

なぜそうしてよいのか

$Na^{+}$ は細胞外の濃度が高いので、濃度勾配にしたがって細胞内へ少しずつ受動的に流れ込みます（前提の技能のとおり、その速度は濃度差で決まります）。もし流れ込むだけなら細胞内の $Na^{+}$ は増え続けるはずですが、実際には細胞内濃度はほぼ一定に保たれています。濃度が変わらないということは、「入ってくる数」と「出ていく数」が同じだということです。つまり、細胞内濃度が一定のとき、ナトリウムポンプが単位時間に外へくみ出す $Na^{+}$ の数は、同じ時間に受動的に流れ込む $Na^{+}$ の数に等しくなります。 $K^{+}$ についても同じで、外へもれ出る数と、ポンプが取り込む数がつり合っています。

ナトリウムポンプは、ATP $1$ 分子を ADP とリン酸に分解して得たエネルギーで、1 回の働きにつき $Na^{+}$ を $3$ 個細胞外へ出し、 $K^{+}$ を $2$ 個細胞内へ取り込みます。この比 $ATP : Na^{+} : K^{+} = 1 : 3 : 2$ は決まっているので、どれか 1 つの数がわかれば、残りの数は比例で求まります。たとえば $Na^{+}$ の排出数が $N$ 個なら、ATP は $\frac{N}{3}$ 分子、 $K^{+}$ の取り込み数は $\frac{2 N}{3}$ 個です。

手順

問題文から、受動的な流入（または流出）の速さや、輸送されたイオンの数など、わかっている数を読み取る
細胞内濃度が一定なら「ポンプによる排出数＝受動的な流入数」として、ポンプが運ぶ $Na^{+}$ （または $K^{+}$ ）の数を決める
ポンプ 1 回あたりの比 $ATP : Na^{+} (排出) : K^{+} (取り込み) = 1 : 3 : 2$ を書く
比例で求めたい数を計算する： $ATP 数 = \frac{Na ^{+} 数}{3} = \frac{K ^{+} 数}{2}$ 、 $K^{+} 数 = \frac{2}{3} \times Na^{+} 数$
時間あたりの数で聞かれていれば、必要に応じて時間をかけて合計を出す

例題

ある細胞では、細胞内の $Na^{+}$ 濃度が一定に保たれている。この細胞には、濃度勾配にしたがって毎秒 $9.0 \times 1 0^{5}$ 個の $Na^{+}$ が受動的に流入している。細胞外への $Na^{+}$ の排出はすべてナトリウムポンプが行い、ナトリウムポンプは ATP $1$ 分子を分解するごとに $Na^{+}$ を $3$ 個排出し、 $K^{+}$ を $2$ 個取り込むものとする。この細胞のナトリウムポンプが 1 秒間に分解する ATP の分子数を求めよ。

例題の解答

【手順 1】わかっている数は、 $Na^{+}$ の受動的な流入が毎秒 $9.0 \times 1 0^{5}$ 個であること。

【手順 2】細胞内の $Na^{+}$ 濃度が一定なので、流入数と排出数はつり合っている。 $Na^{+}$ の排出はすべてポンプが行うので、ポンプが排出する $Na^{+}$ は毎秒 $9.0 \times 1 0^{5}$ 個。

【手順 3】ポンプ 1 回あたり $ATP : Na^{+} : K^{+} = 1 : 3 : 2$ 。

【手順 4】ATP の分子数は $Na^{+}$ の数の $\frac{1}{3}$ なので
$\frac{9.0 \times 1 0 ^{5}}{3} = 3.0 \times 1 0^{5}$
よって 1 秒間に分解される ATP は $3.0 \times 1 0^{5}$ 分子（ $300000$ 分子）。

（参考：このとき取り込まれる $K^{+}$ は $3.0 \times 1 0^{5} \times 2 = 6.0 \times 1 0^{5}$ 個。）

答え: $3.0 \times 1 0^{5}$

よくある誤り

ATP $1$ 分子で $Na^{+}$ が $1$ 個運ばれると考えてしまう誤り（ $9.0 \times 1 0^{5}$ 個の $Na^{+}$ に ATP $9.0 \times 1 0^{5}$ 分子としてしまう）。正しくは ATP $1$ 分子で $Na^{+}$ $3$ 個なので、ATP は $\frac{9.0 \times 1 0 ^{5}}{3} = 3.0 \times 1 0^{5}$ 分子
$Na^{+}$ と $K^{+}$ の数を取り違え、 $Na^{+}$ を $2$ 個・ $K^{+}$ を $3$ 個とする誤り。正しくは $Na^{+}$ を $3$ 個排出、 $K^{+}$ を $2$ 個取り込みで、 $K^{+} 数 = \frac{2}{3} \times Na^{+} 数$
比を逆に使い、ATP 数を $Na^{+} 数 \times 3$ と計算してしまう誤り。正しくは ATP が $1$ 分子のとき $Na^{+}$ が $3$ 個なので、 $ATP 数 = Na^{+} 数 \div 3$
細胞内濃度が一定であることを使わず、受動的な流入とポンプの排出を別々のものと考えて、ポンプの排出数がわからないとしてしまう誤り。正しくは濃度が一定なら（流入数） $=$ （ポンプによる排出数）とおける

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
ある動物細胞では、 $Na^{+}$ が細胞膜のチャネルを通って、受動輸送により 1 秒間に $3.6 \times 1 0^{5}$ 個の割合で細胞内へ流入している。一方、細胞内の $Na^{+}$ の濃度は一定に保たれている。
細胞内に流入した $Na^{+}$ は、すべてナトリウムポンプによって細胞外へ排出されるものとする。ナトリウムポンプは ATP $1$ 分子を分解するごとに $Na^{+}$ を $3$ 個排出し、 $K^{+}$ を $2$ 個取り込む。この細胞のナトリウムポンプが 1 秒間に分解する ATP は何分子か。

この技能を使う問題

難易度 2（教科書の章末問題レベル）
ある動物細胞では、 $Na^{+}$ は細胞膜にあるチャネルを通って、濃度勾配にしたがって細胞外から細胞内へ受動的に流入する。一方、細胞内の $Na^{+}$ は、ナトリウムポンプ（ $Na^{+}$ - $K^{+}$ -ATPアーゼ）によって細胞外へ能動的に排出される。ナトリウムポンプは、ATP $1$ 分子を分解するごとに $Na^{+}$ を $3$ 個細胞外へ排出し、 $K^{+}$ を $2$ 個細胞内へ取り込む。
この細胞について、細胞内の $Na^{+}$ 濃度を $10 mM$ に保ったまま、細胞外液の $Na^{+}$ 濃度を変えて、細胞 $1$ 個あたり $1$ 秒間にチャネルを通って流入する $Na^{+}$ の数を調べたところ、次の表のようになった。 $Na^{+}$ の流入量は、細胞外と細胞内の $Na^{+}$ の濃度差に比例するものとする。
細胞外液の $Na^{+}$ 濃度 $[mM]$ $Na^{+}$ の流入量 $[個 / 秒]$
$50$ $2.4 \times 1 0^{6}$
$90$ $4.8 \times 1 0^{6}$
この細胞を $Na^{+}$ 濃度 $150 mM$ の細胞外液に入れたところ、細胞内の $Na^{+}$ 濃度は $10 mM$ で一定に保たれた。このとき、細胞 $1$ 個のナトリウムポンプが $1$ 秒間に分解する ATP の分子数は何個か。有効数字 $2$ 桁で求めよ。ただし、 $Na^{+}$ はチャネルによる流入とナトリウムポンプによる排出以外の経路では細胞膜を通らないものとする。

細胞外液の $Na^{+}$ 濃度 $[mM]$	$Na^{+}$ の流入量 $[個 / 秒]$
$50$	$2.4 \times 1 0^{6}$
$90$	$4.8 \times 1 0^{6}$