縦波の横波表示と疎密

縦波の変位を横波のような $y$ - $x$ グラフに置きかえたものから、密・疎の位置と、各点の媒質の振動の向き・速さが最大の点を読み取れる

前提

横波・縦波と波の要素（高校物理波動（知識））

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横波・縦波と波の要素（高校物理波動（知識））

説明

縦波では媒質が波の進む向きに沿って前後に振動するため、そのままでは図に描きにくいです。そこで各点の変位を 90° 回転させ、横波のような $y$ - $x$ グラフで表します（横波表示）。このグラフから、媒質が集まって混み合う「密」の位置とまばらな「疎」の位置、各点の媒質が動く向き、速さが最大の点を読み取れるようになります。音波（空気の縦波）などを考えるときに使います。

なぜそうしてよいのか

縦波の横波表示では、ふつう「 $x$ 軸の正の向きへの変位を $y$ の正、負の向きへの変位を $y$ の負」として描きます。つまり、グラフの $y$ は上下の位置ではなく、もとの位置から $x$ 方向に何だけずれたかを表しています。ある点 $P$ のすぐ左の媒質が正（右向き）にずれ、すぐ右の媒質が負（左向き）にずれていれば、両側の媒質が $P$ に寄ってくるので $P$ は最も密になります。逆に左が負、右が正なら両側が $P$ から離れていくので、 $P$ は最も疎になります。どちらも、 $P$ 自身の変位は $0$ です。山や谷の点では、となりどうしがほぼ同じだけずれているので、間隔はもとのままで密でも疎でもありません。

媒質の動く向きは、横波のときと同じように、波形を進む向きに少しだけずらして考えます。少し後の波形で $y$ が増える点の媒質は $x$ の正の向きに、 $y$ が減る点の媒質は負の向きに動いています。グラフ上で $y$ が増えても、媒質が「上に動く」わけではない点に注意します。

各点の媒質は、つり合いの位置を中心に行ったり来たりしています。折り返す点（変位が最大の点＝山・谷）では一瞬止まり、中心（変位 $0$ の点）を通るときがいちばん速くなります。波形をずらしたときも、 $y$ の変化が最も大きいのはグラフの傾きが最も急な変位 $0$ の点です。したがって、速さが最大なのは変位 $0$ の点、つまり密や疎の点で、速さが $0$ なのは山・谷の点です。

手順

横波表示の約束を確かめる： $y > 0$ は $x$ の正の向きへの変位、 $y < 0$ は負の向きへの変位を表す。
変位が $0$ の点を探し、その両側の変位の向きを読む：左側が $y > 0$ （右向き）で右側が $y < 0$ （左向き）なら密、左側が $y < 0$ で右側が $y > 0$ なら疎。山・谷の点は密でも疎でもない。
波形を波の進む向きに少しずらした形を描き、注目する点の $y$ が増えるか減るかを調べる。 $y$ が増えるなら媒質は $x$ の正の向き、減るなら負の向きに動いている。
媒質の速さは、変位 $0$ の点（密・疎の点）で最大、変位が最大の点（山・谷）で $0$ と判定する。

例題

$x$ 軸の正の向きに進む縦波がある。 $x$ 軸の正の向きへの媒質の変位を $y$ 軸の正の向きにとって横波のように表すと、ある時刻の波形は、 $x = 0$ で $y = 0$ 、 $x = \frac{λ}{4}$ で正の最大値 $A$ 、 $x = \frac{λ}{2}$ で $y = 0$ 、 $x = \frac{3 λ}{4}$ で負の最大値 $- A$ 、 $x = λ$ で $y = 0$ となる正弦波の形であった（ $λ$ は波長）。この時刻について述べた文として正しいものを、次のア〜エのうちから 1 つ選べ。
ア　 $x = 0$ の位置は最も密である。
イ　 $x = \frac{λ}{4}$ の位置で、媒質の速さが最大である。
ウ　 $x = \frac{λ}{2}$ の位置は最も密であり、そこの媒質は $x$ 軸の正の向きに動いている。
エ　 $x = \frac{3 λ}{4}$ の位置は最も疎である。

例題の解答

手順 1： $y > 0$ は右向き（ $x$ 正の向き）の変位、 $y < 0$ は左向きの変位を表す。
手順 2：変位 $0$ の点は $x = 0, \frac{λ}{2}, λ$ 。 $x = 0$ のすぐ左（ $- \frac{λ}{2} < x < 0$ ）は $y < 0$ で左向き、すぐ右（ $0 < x < \frac{λ}{2}$ ）は $y > 0$ で右向きにずれているので、両側の媒質が離れていき $x = 0$ は最も疎。よってアは誤り。 $x = \frac{λ}{2}$ は左側が $y > 0$ （右向き）、右側が $y < 0$ （左向き）で両側が寄ってくるので最も密。 $x = \frac{3 λ}{4}$ は谷で、密でも疎でもないのでエは誤り。
手順 3：波形を $x$ の正の向きに少しずらすと、 $x = \frac{λ}{2}$ には少し左側の $y > 0$ の部分がやってくるので $y$ は増える。よって $x = \frac{λ}{2}$ の媒質は $x$ 軸の正の向きに動いている。ウは正しい。
手順 4： $x = \frac{λ}{4}$ は山（変位最大）なので媒質の速さは $0$ 。イは誤り。
以上より正しいのはウ。

答え:

ウ

よくある誤り

横波表示の山を密、谷を疎としてしまう誤り。正しくは、密・疎は変位 $y = 0$ の点で、両側の媒質が寄ってくる点（左が $y > 0$ 、右が $y < 0$ ）が密、離れていく点が疎。山・谷は密でも疎でもない。
グラフで $y$ が増える点の媒質が「上へ動く」と読んでしまう誤り。正しくは、縦波の媒質は $x$ 方向にしか振動せず、 $y$ が増えることは $x$ 軸の正の向きに動くことを表す。
密の点では媒質が詰まって止まっているとしてしまう誤り。正しくは、密・疎の点は変位 $y = 0$ の点なので媒質の速さは最大で、速さが $0$ になるのは $∣ y ∣ = A$ の山・谷の点。
波の進む向きを考えずに媒質の動く向きを決めてしまう誤り。正しくは、波形を進む向きに少しずらして $y$ の増減を調べる。例題の波が $x$ 軸の負の向きに進むなら、 $x = \frac{λ}{2}$ には右側の $y < 0$ の部分が来るので、媒質は負の向きに動く（密・疎の位置は進む向きによらない）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
$x$ 軸に沿って並んだ媒質の各点が $x$ 軸方向に振動する縦波（正弦波）が、 $x$ 軸の正の向きに進んでいる。媒質の各点は、それぞれのつり合いの位置を中心に、同じ振幅で $x$ 軸方向に単振動している。ある時刻の各点の変位を、 $x$ 軸の正の向きの変位は $y$ 軸の正の向きに、 $x$ 軸の負の向きの変位は $y$ 軸の負の向きに置きかえて、横波のような $y$ - $x$ グラフに表した（横波表示）。
この時刻に、 $x$ 軸上の点 P の変位は $0$ であった。また、P のすぐ左側（ $x$ 座標が P より少し小さい側）の点は $x$ 軸の正の向きに変位していて、P のすぐ右側（ $x$ 座標が P より少し大きい側）の点は $x$ 軸の負の向きに変位していた。
次の文中の空欄 a・b に入る語句の組み合わせとして正しいものを、下のア〜エのうちから 1 つ選べ。
「この時刻に、点 P の位置では媒質は（ a ）になっている。また、この時刻の点 P の媒質の振動の速さは（ b ）である。」
a b
ア疎最大
イ密最大
ウ密 $0$
エ疎 $0$

	a	b
ア	密	$x$ 軸の負の向き
イ	密	$x$ 軸の正の向き
ウ	疎	$x$ 軸の正の向き
エ	疎	$x$ 軸の負の向き

縦波の横波表示と疎密

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