光学台の上に凸レンズを固定し、凸レンズの左側に火のついたろうそくを置きました。ろうそくから凸レンズの中心までの距離は です。凸レンズの右側に置いたスクリーンを光学台にそって動かしたところ、ろうそくと同じ大きさで上下が逆向きの像が、スクリーンにはっきりうつりました。この凸レンズの焦点距離は何 cm ですか。
ろうそく凸レンズ
焦点距離の 2 倍の位置と像
物体を凸レンズから焦点距離の 2 倍の位置に置くと、レンズの反対側の焦点距離の 2 倍の位置に、物体と同じ大きさの上下逆向きの実像ができること（物体までの距離 = 像までの距離 = ）を使って、物体と像が同じ大きさになったときの距離から焦点距離を求めたり、焦点距離から物体と像の位置を求めたりできる
前提
- 凸レンズの実像と虚像 （中学理科 物理分野の用語と知識）
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- 光の反射・屈折・全反射の用語 （中学理科 物理分野の用語と知識）
- 凸レンズの実像と虚像 （中学理科 物理分野の用語と知識）
説明
凸レンズの焦点距離を とすると、物体をレンズから の位置に置いたとき、レンズの反対側の の位置に、物体と同じ大きさで上下逆向きの実像ができます。この技能では、この決まりを使って、スクリーンに物体と同じ大きさの像がうつったときの距離から焦点距離を求めたり、焦点距離から物体やスクリーンを置く位置を求めたりします。凸レンズの実験で焦点距離を調べるときによく使う方法です。
なぜそうしてよいのか
像の位置は、物体の先端から出る光のうち、進み方がわかっている 2 本の光で決まります。1 本目は光軸（レンズの中心を通りレンズに垂直な直線）に平行に進む光で、レンズで屈折したあと反対側の焦点を通ります。2 本目はレンズの中心を通る光で、そのまま直進します。この 2 本が交わる点に、物体の先端の像ができます。
物体の高さを とし、物体をレンズから の位置に置いたとします。光軸に平行な光はレンズの高さ の点で曲がり、レンズから 進む間に高さが 下がって焦点（高さ 0）を通ります。そのまま同じ傾きでさらに 進むと、高さはもう 下がって、レンズから の位置で光軸の下側 の点を通ります。一方、レンズの中心を通る光は、物体側で 進む間に高さ から 0 になったので、同じ傾きのまま反対側へ 進むと光軸の下側 の点を通ります。
2 本の光はどちらも「反対側の の位置で、光軸の下側 の点」を通るので、そこで交わります。つまり像はレンズから の位置にでき、大きさは物体と同じ で、上下が逆になります。逆に、物体と同じ大きさの実像ができたなら、物体までの距離と像までの距離はどちらも です。
手順
問題文から、物体と同じ大きさの実像ができているか（または物体を焦点距離の 2 倍の位置に置いたか）を確かめる
そのとき、物体からレンズまでの距離 レンズから像（スクリーン）までの距離 と式に表す
距離がわかっているときは、焦点距離を で求める
焦点距離がわかっているときは、物体の位置とスクリーンの位置をそれぞれレンズから として求める。物体とスクリーンの間の距離を聞かれたら
例題
凸レンズの前に物体を置き、レンズの反対側にスクリーンを置いて、スクリーンにはっきりした像がうつるように位置を調整しました。物体とレンズの距離が 24 cm のとき、スクリーンに物体と同じ大きさの上下逆向きの像がうつりました。この凸レンズの焦点距離は何 cm ですか。
例題の解答
手順 1: スクリーンに物体と同じ大きさの実像がうつっているので、物体は焦点距離の 2 倍の位置にあります。
手順 2: 焦点距離を cm とすると、物体からレンズまでの距離は なので
手順 3:
（このとき、スクリーンもレンズから cm の位置にあります。）よって焦点距離は 12 cm です。
答え:
よくある誤り
物体とレンズの距離をそのまま焦点距離としてしまう誤り。正しくは物体とレンズの距離が なので、24 cm なら cm。
物体とスクリーンの間の距離を としてしまう誤り。正しくは物体からレンズまで 、レンズからスクリーンまで なので、物体とスクリーンの間は 。物体とスクリーンの間が 40 cm なら cm。
物体を焦点の位置に置くと同じ大きさの像ができるとしてしまう誤り。正しくは焦点の位置に置くと像はできず、同じ大きさの実像ができるのは焦点距離の 2 倍の位置（焦点距離 cm なら cm）に置いたとき。
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。