弦の長さと振動数

弦の張りの強さと太さが同じとき、振動数が弦の振動する部分の長さに反比例することを使って、波形などから求めた振動数をもとに、弦の長さを変えたときの振動数や、ある振動数になる弦の長さを求められる

前提

音の振動数と波形（中学理科光と音）

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音の伝わり方と大きさ・高さ（中学理科物理分野の用語と知識）
音の振動数と波形（中学理科光と音）

説明

ギターやモノコードの弦は、振動する部分を短くすると高い音が出ます。この技能では、弦の張りの強さと太さを変えないとき、振動数が弦の振動する部分の長さに反比例することを使って、弦の長さを変えたときの振動数や、決まった振動数の音を出すのに必要な弦の長さを計算します。もとの振動数は、オシロスコープなどの波形から求めることもあります。

なぜそうしてよいのか

弦をはじくと、弦のゆれは弦の上を一定の速さで端から端へ伝わり、両端の支えではね返ってまた戻ってきます。弦が 1 回振動する（もとの形に戻る）のは、このゆれが弦の上を決まった回数だけ行き来したときです。ゆれが伝わる速さは、張りの強さと太さで決まり、長さには関係しません。

そのため、張りの強さと太さが同じなら、弦の振動する部分の長さを 2 倍にすると、ゆれが行き来するのに 2 倍の時間がかかり、1 回の振動にかかる時間も 2 倍になります。振動数は $1 \div$ （1 回の振動にかかる時間）なので、振動数は $\frac{1}{2}$ 倍になります。長さを $\frac{1}{2}$ にすれば振動数は 2 倍です。このように、長さが $k$ 倍になると振動数が $\frac{1}{k}$ 倍になる関係が反比例です。実際にモノコードで長さを変えて振動数をはかっても、この関係が確かめられます。

反比例なので、（振動数）×（弦の振動する部分の長さ）はいつも同じ値になります。もとの長さ $L_{1}$ で振動数 $f_{1}$ 、変えたあとの長さ $L_{2}$ で振動数 $f_{2}$ とすると $f_{1} \times L_{1} = f_{2} \times L_{2}$ が成り立ちます。ただし、これは張りの強さと太さを変えないときだけです。張りを強くしたり、細い弦にしたりすると、長さが同じでも振動数は大きくなります。

手順

張りの強さと弦の太さが変わっていないことを確かめる（変わっていればこの関係は使えない）。
もとの振動数 $f_{1}$ を求める。波形から求めるときは、1 回の振動にかかる時間を読み取り、振動数 $= 1 \div$ （1 回の振動にかかる時間）。
もとの弦の振動する部分の長さ $L_{1}$ と、変えたあとの長さ $L_{2}$ （または目標の振動数 $f_{2}$ ）を整理する。
反比例の式 $f_{1} \times L_{1} = f_{2} \times L_{2}$ に値を入れ、求めたい振動数または長さを計算する。
答えを確かめる: 長さを短くしたら振動数は大きく（音は高く）、長くしたら振動数は小さく（音は低く）なっているか。

例題

モノコードの弦の振動する部分の長さを 60 cm にしてはじき、出た音の波形をオシロスコープで調べたところ、横軸の 1 目盛りが 0.001 秒で、1 回の振動が横軸の 4 目盛り分であった。次に、弦の張りの強さと太さを変えずに、ことじを動かして振動する部分の長さを 40 cm にしてはじいた。このとき出る音の振動数は何 Hz か求めよ。

例題の解答

手順 1: 張りの強さと太さは変えていないので、振動数は弦の振動する部分の長さに反比例する。

手順 2: 1 回の振動にかかる時間は $0.001 \times 4 = 0.004$ 秒。よってもとの振動数は $f_{1} = 1 \div 0.004 = 250$ Hz。

手順 3: $L_{1} = 60$ cm、 $L_{2} = 40$ cm。

手順 4: $250 \times 60 = f_{2} \times 40$ より $f_{2} = \frac{15000}{40} = 375$ Hz。

手順 5: 弦を短くしたので振動数が 250 Hz から大きくなっており、音が高くなることと合っている。

答え: $375$

よくある誤り

振動数が長さに比例するとしてしまう誤り。正しくは反比例で、長さを 60 cm から 40 cm にすると振動数は $250 \times \frac{40}{60} ≒ 167$ Hz ではなく $250 \times \frac{60}{40} = 375$ Hz。
弦の長さを短くした分（60 − 40 = 20 cm）だけで比を作ってしまう誤り。正しくは、比べるのは振動する部分の長さそのもので、 $f_{1} \times 60 = f_{2} \times 40$ 。
張りの強さや太さを変えた場合にも長さだけで計算してしまう誤り。正しくは、反比例の関係 $f_{1} \times L_{1} = f_{2} \times L_{2}$ は張りの強さと太さが同じときだけ使える。
波形の 1 回の振動にかかる時間をそのまま振動数としてしまう誤り。正しくは、振動数は $1 \div$ （1 回の振動にかかる時間）なので、0.004 秒なら $1 \div 0.004 = 250$ Hz。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
モノコードの弦を、2 つのことじの間の長さ（弦の振動する部分の長さ）が $60 cm$ になるようにしてはじいたところ、振動数 $330 Hz$ の音が出ました。次に、弦の張りの強さは変えずに、片方のことじを動かして弦の振動する部分の長さを $45 cm$ にして、同じ弦をはじきました。このとき出る音の振動数は何 Hz ですか。ただし、弦の張りの強さと太さが同じとき、振動数は弦の振動する部分の長さに反比例するものとします。
ことじことじ弦 $60 cm$
はじめの状態

弦の長さと振動数

前提

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なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題