地球と宇宙の問題

地球と、地球より外側を公転する惑星 X は、どちらも太陽を中心とする同じ平面上の円の軌道を、同じ向きに一定の速さで公転しているものとする。地球の公転周期を 12 か月、惑星 X の公転周期を 24 か月とする。

ある日、太陽・地球・惑星 X がこの順に一直線に並んだ。この日から数えて、太陽から見た地球の方向と惑星 X の方向のなす角が、はじめて $90^{\circ }$ になるのは何か月後ですか。

地球と、地球より内側を公転する惑星 Z は、太陽を中心とする同じ平面上の円の軌道を、同じ向きに一定の速さで公転しているものとする。地球の公転周期は 360 日とする。

ある日、太陽・惑星 Z・地球がこの順に一直線に並んだ。このため、惑星 Z は太陽と同じ方向にあり、地球からは観察できなかった。

その後、地球・太陽・惑星 Z がこの順に一直線に並び、惑星 Z が太陽の向こう側にきた。この状態に初めてなったのは、太陽・惑星 Z・地球が一直線に並んだ日から 270 日後であった。

惑星 Z の公転周期は何日ですか。

地球と、地球より外側を公転する惑星 X は、太陽を中心とする同じ平面上の円の軌道を、同じ向きに一定の速さで公転しているものとする。地球の公転周期は 12 か月で、地球は太陽を中心として 1 か月に $30^{\circ }$ ずつ公転するものとする。

ある日、太陽・地球・惑星 X がこの順に一直線上に並び、真夜中に惑星 X が南の空に見えた。このあと、太陽・地球・惑星 X がふたたびこの順に一直線上に並んだのは、20 か月後が初めてであった。

惑星 X の公転周期は何か月ですか。

地球と、地球より内側を公転する惑星 Y は、どちらも太陽を中心とする同じ平面上の円の軌道を、同じ向きに一定の速さで公転しているものとする。地球の公転周期を 360 日、惑星 Y の公転周期を 90 日とする。

ある日、太陽・惑星 Y・地球がこの順に一直線上に並んだ。この日を 0 日目とする。この後、惑星 Y・太陽・地球がこの順に一直線上に並ぶ（惑星 Y が太陽の向こう側に来る）ことが何回か起こる。0 日目から数えて 3 回目にこの並び方になるのは何日後ですか。

地球と、地球より内側を公転する惑星 Y は、太陽を中心とする同じ平面上の円の軌道を公転しているものとする。太陽から惑星 Y までの距離は、太陽から地球までの距離の $0.75$ 倍である。

惑星 Y を同じ倍率の望遠鏡で観察すると、見かけの直径（見える大きさ）は、地球から惑星 Y までの距離に反比例するものとする。

太陽・惑星 Y・地球がこの順に一直線に並んだときの惑星 Y の見かけの直径は、惑星 Y・太陽・地球がこの順に一直線に並んだときの惑星 Y の見かけの直径の何倍ですか。