地球と宇宙の問題

地球と金星は、太陽を中心とする同じ平面上の円の軌道を公転しているものとする。太陽から地球までの距離を 10、太陽から金星までの距離を 7 とする（同じ単位で表した値）。

地球から望遠鏡で金星を見るとき、金星の見かけの直径（見かけの大きさ）は、地球から金星までの距離に反比例するものとする。

金星が地球にもっとも近づいたとき（太陽・金星・地球がこの順に一直線上に並んだとき）の金星の見かけの直径は、金星が地球からもっとも遠ざかったとき（金星・太陽・地球がこの順に一直線上に並んだとき）の金星の見かけの直径の何倍ですか。分数で答えなさい。

地球と、地球より内側を公転する惑星 Y は、太陽を中心とする同じ平面上の円の軌道を公転しているものとする。太陽から惑星 Y までの距離は、太陽から地球までの距離の $0.75$ 倍である。

惑星 Y を同じ倍率の望遠鏡で観察すると、見かけの直径（見える大きさ）は、地球から惑星 Y までの距離に反比例するものとする。

太陽・惑星 Y・地球がこの順に一直線に並んだときの惑星 Y の見かけの直径は、惑星 Y・太陽・地球がこの順に一直線に並んだときの惑星 Y の見かけの直径の何倍ですか。

地球と、地球より内側を公転する惑星 Z は、太陽を中心とする同じ平面上の円の軌道を、同じ向きに一定の速さで公転しているものとする。地球の公転周期を 360 日とする。

ある日、太陽・惑星 Z・地球がこの順に一直線に並び、惑星 Z は太陽と同じ方向にあったため、見ることができなかった。その後、惑星 Z は明け方の東の空に見えるようになった。観察を続けると、太陽・惑星 Z・地球が次にこの順に一直線に並んだのは、最初に並んだ日から 450 日後であった。

惑星 Z の公転周期は何日ですか。

太陽と地球の距離を $1$ としたとき、太陽と金星の距離を $0.7$ とする。金星と地球はどちらも太陽を中心とする円の上を公転しているものとする。

太陽・金星・地球がこの順に一直線上に並んだとき（金星が太陽と地球の間にあるとき）と、金星・太陽・地球がこの順に一直線上に並んだとき（金星が太陽の向こう側にあるとき）を比べる。金星が太陽と地球の間にあるときの金星の見かけの大きさ（直径）は、金星が太陽の向こう側にあるときの何倍ですか。分数で答えなさい。ただし、金星の見かけの大きさは、地球から金星までの距離に反比例するものとする。

地球と、地球より外側を公転する惑星 X は、どちらも太陽を中心とする同じ平面上の円の軌道を、同じ向きに一定の速さで公転しているものとする。地球の公転周期を 12 か月、惑星 X の公転周期を 24 か月とする。

ある日、太陽・地球・惑星 X がこの順に一直線に並んだ。この日から数えて、太陽から見た地球の方向と惑星 X の方向のなす角が、はじめて $90^{\circ }$ になるのは何か月後ですか。