地球と宇宙の問題

地球と金星は、太陽を中心とする同じ平面上の円の軌道を公転しているものとする。太陽から地球までの距離を 10、太陽から金星までの距離を 7 とする（同じ単位で表した値）。

地球から望遠鏡で金星を見るとき、金星の見かけの直径（見かけの大きさ）は、地球から金星までの距離に反比例するものとする。

金星が地球にもっとも近づいたとき（太陽・金星・地球がこの順に一直線上に並んだとき）の金星の見かけの直径は、金星が地球からもっとも遠ざかったとき（金星・太陽・地球がこの順に一直線上に並んだとき）の金星の見かけの直径の何倍ですか。分数で答えなさい。

地球と、地球より内側を公転する惑星 Y は、太陽を中心とする同じ平面上の円の軌道を公転しているものとする。太陽から惑星 Y までの距離は、太陽から地球までの距離の $0.75$ 倍である。

惑星 Y を同じ倍率の望遠鏡で観察すると、見かけの直径（見える大きさ）は、地球から惑星 Y までの距離に反比例するものとする。

太陽・惑星 Y・地球がこの順に一直線に並んだときの惑星 Y の見かけの直径は、惑星 Y・太陽・地球がこの順に一直線に並んだときの惑星 Y の見かけの直径の何倍ですか。

地球の外側を公転する惑星 X がある。地球と惑星 X は、太陽を中心とする円の上を同じ向きに一定の速さで公転しているものとし、地球の公転周期を $12$ か月とする。ある日、太陽・地球・惑星 X がこの順に一直線上に並んだ。その後、太陽・地球・惑星 X が再びこの順に一直線上に並んだのは、$18$ か月後であった。惑星 X の公転周期は何か月ですか。

地球と、地球より外側を公転する惑星 X は、どちらも太陽を中心とする同じ平面上の円の軌道を、同じ向きに一定の速さで公転しているものとする。地球の公転周期を 12 か月、惑星 X の公転周期を 24 か月とする。

ある日、太陽・地球・惑星 X がこの順に一直線に並んだ。この日から数えて、太陽から見た地球の方向と惑星 X の方向のなす角が、はじめて $90^{\circ }$ になるのは何か月後ですか。

地球と火星は、太陽を中心とする同じ平面上の円の軌道を公転しているものとする。太陽から地球までの距離を 1.5 億 km、太陽から火星までの距離を 2.4 億 km とする。

火星を調べている探査機から、地球へ電波を送る。探査機は火星のすぐ近くにあり、探査機と火星の位置は同じとみなす。電波は秒速 30 万 km で、まっすぐ進むものとする。

地球と火星がもっとも遠くなったとき（地球・太陽・火星がこの順に一直線上に並んだとき）に電波が地球に届くまでの時間は、地球と火星がもっとも近くなったとき（太陽・地球・火星がこの順に一直線上に並んだとき）に電波が届くまでの時間より何秒長いですか。ただし、電波は太陽にさえぎられないものとする。