地球と宇宙の問題

太陽と地球の距離を $1$ としたとき、太陽と金星の距離を $0.7$ とする。金星と地球はどちらも太陽を中心とする円の上を公転しているものとする。

太陽・金星・地球がこの順に一直線上に並んだとき（金星が太陽と地球の間にあるとき）と、金星・太陽・地球がこの順に一直線上に並んだとき（金星が太陽の向こう側にあるとき）を比べる。金星が太陽と地球の間にあるときの金星の見かけの大きさ（直径）は、金星が太陽の向こう側にあるときの何倍ですか。分数で答えなさい。ただし、金星の見かけの大きさは、地球から金星までの距離に反比例するものとする。

地球と、地球より内側を公転する惑星 Y は、太陽を中心とする同じ平面上の円の軌道を公転しているものとする。太陽から惑星 Y までの距離は、太陽から地球までの距離の $0.75$ 倍である。

惑星 Y を同じ倍率の望遠鏡で観察すると、見かけの直径（見える大きさ）は、地球から惑星 Y までの距離に反比例するものとする。

太陽・惑星 Y・地球がこの順に一直線に並んだときの惑星 Y の見かけの直径は、惑星 Y・太陽・地球がこの順に一直線に並んだときの惑星 Y の見かけの直径の何倍ですか。

地球と火星は、太陽を中心とする同じ平面上の円の軌道を公転しているものとする。太陽から地球までの距離を 1.5 億 km、太陽から火星までの距離を 2.4 億 km とする。

火星を調べている探査機から、地球へ電波を送る。探査機は火星のすぐ近くにあり、探査機と火星の位置は同じとみなす。電波は秒速 30 万 km で、まっすぐ進むものとする。

地球と火星がもっとも遠くなったとき（地球・太陽・火星がこの順に一直線上に並んだとき）に電波が地球に届くまでの時間は、地球と火星がもっとも近くなったとき（太陽・地球・火星がこの順に一直線上に並んだとき）に電波が届くまでの時間より何秒長いですか。ただし、電波は太陽にさえぎられないものとする。

地球と、地球より内側を公転する惑星 Z は、太陽を中心とする同じ平面上の円の軌道を、同じ向きに一定の速さで公転しているものとする。地球の公転周期を 360 日とする。

ある日、太陽・惑星 Z・地球がこの順に一直線に並び、惑星 Z は太陽と同じ方向にあったため、見ることができなかった。その後、惑星 Z は明け方の東の空に見えるようになった。観察を続けると、太陽・惑星 Z・地球が次にこの順に一直線に並んだのは、最初に並んだ日から 450 日後であった。

惑星 Z の公転周期は何日ですか。

地球と金星は、太陽のまわりを同じ向きに、同じ平面上の円の軌道で公転しているものとする。1 か月の間に、太陽を中心として地球は $30^{\circ }$、金星は $48^{\circ }$ 公転するものとする。

ある日、太陽・金星・地球がこの順に一直線に並んだ。この日から、太陽から見た金星の方向と地球の方向のなす角が初めて $90^{\circ }$ になるのは何か月後ですか。