化学変化と原子・分子の問題

メタン $\mathrm{C}{\mathrm{H}}_4$ が酸素 ${\mathrm{O}}_2$ と結びついて完全に燃焼すると、二酸化炭素 $\mathrm{C}{\mathrm{O}}_2$ と水 ${\mathrm{H}}_2\mathrm{O}$ だけができる。この化学変化を表す化学反応式は
$$\mathrm{C}{\mathrm{H}}_4+a{\mathrm{O}}_2\to b\mathrm{C}{\mathrm{O}}_2+c{\mathrm{H}}_2\mathrm{O}$$
と書ける。ここで $a$, $b$, $c$ は、化学反応式の係数として最も簡単な整数（係数が 1 のときは省略せずに 1 とする）である。

メタンの分子 $15$ 個を完全に燃焼させるとき、過不足なく反応する酸素の分子は何個ですか。

エタンは、炭素原子 $2$ 個と水素原子 $6$ 個が結びついた分子からなる気体で、化学式は ${\text{C}}_2{\text{H}}_6$ と表される。エタンが酸素 ${\text{O}}_2$ と反応すると、二酸化炭素 ${\text{CO}}_2$ と水 ${\text{H}}_2\text{O}$ だけができる。

密閉した容器に、エタン分子と酸素分子を合わせて $50$ 個入れ、点火して反応させた。反応後、容器を冷やしてできた水をすべて液体にしたところ、容器の中に残った気体の分子（二酸化炭素分子と、反応しないで残った酸素分子）は合わせて $35$ 個であった。このとき、エタン分子はすべて反応し、酸素分子の一部が反応しないで残っていた。

反応しないで残った酸素分子は何個ですか。

プロパン ${\mathrm{C}}_3{\mathrm{H}}_8$ は、家庭用のガスボンベなどに使われている気体である。プロパンが酸素 ${\mathrm{O}}_2$ と結びついて完全に燃焼すると、二酸化炭素 $\mathrm{C}{\mathrm{O}}_2$ と水 ${\mathrm{H}}_2\mathrm{O}$ だけができる。この化学変化を表す化学反応式を
$$a{\mathrm{C}}_3{\mathrm{H}}_8+b{\mathrm{O}}_2⟶c\mathrm{C}{\mathrm{O}}_2+d{\mathrm{H}}_2\mathrm{O}$$
と書く。係数 $a$, $b$, $c$, $d$ を、化学反応式として正しくなるような最も簡単な正の整数にしたとき、$a+b+c+d$ の値を求めなさい。

アルミニウム $\mathrm{Al}$ の粉末を酸素 ${\mathrm{O}}_2$ 中で加熱すると、アルミニウムは酸素と結びついて酸化アルミニウムになる。酸化アルミニウムは、アルミニウム原子 $2$ 個と酸素原子 $3$ 個の割合で結びついた物質で、化学式は $\mathrm{A}{\mathrm{l}}_2{\mathrm{O}}_3$ と表される。この化学変化を表す化学反応式は
$$a\mathrm{Al}+b{\mathrm{O}}_2\to c\mathrm{A}{\mathrm{l}}_2{\mathrm{O}}_3$$
と書ける。ここで $a,b,c$ は、できるだけ小さい正の整数とする。

アルミニウム原子 $12$ 個が、十分な量の酸素とすべて反応して酸化アルミニウムになるとき、反応する酸素分子 ${\mathrm{O}}_2$ は何個ですか。

物質 $\mathrm{X}$ は分子からできており、その分子は炭素原子・水素原子・酸素原子のうちのいくつかの種類の原子だけが結びついてできている。物質 $\mathrm{X}$ を酸素中で完全に燃焼させたところ、二酸化炭素と水だけができた。このとき、反応した分子と、できた分子の数を調べると、$\mathrm{X}$ の分子 $10$ 個と酸素分子 $45$ 個が過不足なく反応し、二酸化炭素分子 $30$ 個と水分子 $40$ 個ができたことがわかった。

$\mathrm{X}$ の分子 $1$ 個にふくまれる原子の数は、全部で何個ですか。ただし、化学変化の前後で、原子の種類と数は変わらないものとする。