化学変化と原子・分子の問題

難易度 4公立高校入試の難問・私立高校入試レベル中学理科化学変化と原子・分子

炭酸カルシウムにうすい塩酸を加えると、二酸化炭素が発生する。この反応について、次の実験を行った。ただし、発生した二酸化炭素はすべて空気中に出ていき、水溶液にはとけないものとする。また、どの実験でも、気体が発生しなくなるまで待ってから質量をはかった。

実験 1: ビーカーにうすい塩酸 $50 cm^{3}$ を入れ、ビーカー全体の質量をはかると $120.00 g$ であった。このビーカーに炭酸カルシウムの粉末を加え、反応後のビーカー全体の質量をはかった。炭酸カルシウムの質量を $1.00 g$ 、 $2.00 g$ 、 $3.00 g$ 、 $4.00 g$ 、 $5.00 g$ と変えて、それぞれ新しく同じ塩酸 $50 cm^{3}$ を用意して同じ操作を行ったところ、反応後のビーカー全体の質量は、順に $120.56 g$ 、 $121.12 g$ 、 $121.68 g$ 、 $122.46 g$ 、 $123.46 g$ であった。

実験 2: 実験 1 と同じ濃度の塩酸 $50 cm^{3}$ をビーカーに入れ、ビーカー全体の質量をはかると $120.00 g$ であった。このビーカーに、細かくくだいた卵の殻 $4.00 g$ を加えたところ、反応後のビーカー全体の質量は $122.68 g$ であった。卵の殻には炭酸カルシウムのほかに別の物質がふくまれているが、その物質は塩酸と反応せず、気体も発生しないものとする。

実験 2 と同じ卵の殻 $7.00 g$ にふくまれる炭酸カルシウムをすべて反応させるには、実験 1 と同じ濃度の塩酸が少なくとも何 $cm^{3}$ 必要ですか。

この問題で使うもの

質量保存の法則（説明と入口の問題）
過不足のある反応（説明と入口の問題）

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ヒント

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ヒント 1

反応前の全体の質量から反応後の全体の質量を引くと、発生した二酸化炭素の質量がわかります。実験 1 で、二酸化炭素の質量が増えなくなるところに注目しましょう。

ヒント 2

実験 1 から、炭酸カルシウム $1.00 g$ あたり二酸化炭素 $0.44 g$ が発生し、塩酸 $50 cm^{3}$ では最大 $1.54 g$ までしか発生しないことがわかります。実験 2 では塩酸が余ったか、足りなかったかを確かめましょう。

ヒント 3

実験 2 で発生した二酸化炭素は $1.32 g$ で $1.54 g$ より少ないので、卵の殻 $4.00 g$ 中の炭酸カルシウムはすべて反応しており、その質量は $3.00 g$ です。また、塩酸 $50 cm^{3}$ は炭酸カルシウム $3.50 g$ とちょうど反応します。

答えと解説

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解説を読む

質量保存の法則より、反応の前後で物質全体の質量は変わらない。反応後に質量が減った分は、空気中に出ていった二酸化炭素の質量である。

実験 1 の整理

減少した質量（発生した二酸化炭素の質量）は
- $1.00 g$ : $120.00 + 1.00 - 120.56 = 0.44 g$
- $2.00 g$ : $120.00 + 2.00 - 121.12 = 0.88 g$
- $3.00 g$ : $120.00 + 3.00 - 121.68 = 1.32 g$
- $4.00 g$ : $120.00 + 4.00 - 122.46 = 1.54 g$
- $5.00 g$ : $120.00 + 5.00 - 123.46 = 1.54 g$

$3.00 g$ までは、炭酸カルシウム $1.00 g$ あたり二酸化炭素が $0.44 g$ 発生し、比例している。 $4.00 g$ 以上では $1.54 g$ で一定になっている。これは、塩酸 $50 cm^{3}$ がすべて反応してしまい、残りの炭酸カルシウムが反応できなかったためである。

塩酸 $50 cm^{3}$ と過不足なく反応する炭酸カルシウムの質量を $x g$ とすると、
$1.00 : 0.44 = x : 1.54$
$x = \frac{1.54}{0.44} = 3.50$
よって、塩酸 $50 cm^{3}$ は炭酸カルシウム $3.50 g$ とちょうど反応する。

実験 2 の整理

発生した二酸化炭素は
$120.00 + 4.00 - 122.68 = 1.32 g$
これは塩酸 $50 cm^{3}$ で発生できる最大の量 $1.54 g$ より少ないので、塩酸は余っており、卵の殻にふくまれる炭酸カルシウムはすべて反応したとわかる。

卵の殻 $4.00 g$ にふくまれる炭酸カルシウムを $y g$ とすると、
$1.00 : 0.44 = y : 1.32$
$y = \frac{1.32}{0.44} = 3.00$
よって、卵の殻 $4.00 g$ には炭酸カルシウムが $3.00 g$ ふくまれている。

卵の殻 $7.00 g$ の場合

ふくまれる炭酸カルシウムを $z g$ とすると、
$4.00 : 3.00 = 7.00 : z$
$z = \frac{3.00 \times 7.00}{4.00} = 5.25$

これをすべて反応させるのに必要な塩酸を $V cm^{3}$ とすると、塩酸 $50 cm^{3}$ が炭酸カルシウム $3.50 g$ と反応するので、
$50 : 3.50 = V : 5.25$
$V = \frac{50 \times 5.25}{3.50} = 75$

したがって、少なくとも $75 cm^{3}$ 必要である。

別解

【実験1】発生した二酸化炭素の質量は、反応前の合計質量から反応後の質量を引いて求める。
・1.00 g: $120.00 + 1.00 - 120.56 = 0.44$ g
・2.00 g: $121.00 + 1.00...$ ではなく $120.00 + 2.00 - 121.12 = 0.88$ g
・3.00 g: $123.00 - 121.68 = 1.32$ g
・4.00 g: $124.00 - 122.46 = 1.54$ g
・5.00 g: $125.00 - 123.46 = 1.54$ g
炭酸カルシウム 1.00 g につき二酸化炭素 0.44 g が発生する。3.00 g までは比例している。4.00 g 以上では発生量が 1.54 g で一定になる。これは塩酸 50 cm³ がすべて反応したためである。
このときの炭酸カルシウムの質量は $1.54 \div 0.44 = 3.5$ g である。したがって、塩酸 50 cm³ とちょうど反応する炭酸カルシウムは 3.5 g である。

【実験2】発生した二酸化炭素は $120.00 + 4.00 - 122.68 = 1.32$ g である。これは 1.54 g より小さいので、塩酸は余っており、卵の殻の炭酸カルシウムはすべて反応している。反応した炭酸カルシウムは $1.32 \div 0.44 = 3.00$ g である。よって卵の殻 4.00 g にふくまれる炭酸カルシウムは 3.00 g で、割合は $3.00 \div 4.00 = 0.75$ である。

【求める量】卵の殻 7.00 g にふくまれる炭酸カルシウムは $7.00 \times 0.75 = 5.25$ g である。塩酸 50 cm³ が炭酸カルシウム 3.5 g と反応するので、必要な塩酸は $50 \times \frac{5.25}{3.5} = 75$ cm³ である。

検算: 塩酸 1 cm³ あたり炭酸カルシウム 0.07 g と反応する。 $5.25 \div 0.07 = 75$ cm³ となり、一致する。

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