グラフ理論の問題

$9$ 個の頂点からなる完全グラフを $K_9$ とする。$K_9$ は、相異なる $2$ 頂点がどれもちょうど $1$ 本の辺で結ばれている単純無向グラフである。各頂点の次数と握手補題 $\sum _{v\in V}\mathrm{deg}v=2|E|$ を用いて、$K_9$ の辺の本数 $|E|$ を求めよ（答えるのは辺の本数 $|E|$ だけでよい）。

頂点が $10$ 個の単純無向グラフ $G$ があり、次数が $3$ の頂点がちょうど $4$ 個、次数が $4$ の頂点がちょうど $6$ 個ある（これで $10$ 個の頂点すべてである）。$G$ の辺の本数を求めよ。

頂点集合 $V=\{p_1,p_2,p_3,p_4,p_5,q_1,q_2,q_3,q_4\}$（$9$ 個の頂点）と、次の $9$ 本の辺からなる辺集合 $E$ をもつ単純無向グラフ $G=(V,E)$ を考える。
$$p_1{q}_1,p_1{q}_2,p_2{q}_1,p_3{q}_2,p_4{q}_1,p_4{q}_2,p_5{q}_2,p_5{q}_3,p_5{q}_4$$
$G$ は $\{p_1,\dots ,p_5\}$ と $\{q_1,\dots ,q_4\}$ を 2 つの部分とする 2 部グラフである。$G$ の最大マッチングの大きさ $\nu (G)$ を増加道を用いて求め、ケーニヒの定理を利用して、$G$ の独立数 $\alpha (G)$（最大独立集合の頂点数）を求めよ。

頂点集合を $V=\{1,2,3,4,5,6,7\}$ とし、辺集合を
$$E=\{\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{3,4\},\{2,5\},\{4,5\},\{4,6\},\{5,6\},\{6,7\}\}$$
（$9$ 本の辺）とする単純無向グラフ $G=(V,E)$ を考える。$G$ の最小頂点被覆の大きさ $\tau (G)$ を求めよ。ただし、頂点被覆とは、$G$ のどの辺についても少なくとも一方の端点を含むような頂点の集合のことである。

整数 $n$ は $2\le n\le 10$ を満たすとする。$n$ 個の頂点からなる完全グラフ $K_n$（相異なる 2 頂点がすべてちょうど 1 本の辺で結ばれた単純無向グラフ）を考える。

ここで、オイラー閉路とは、グラフのすべての辺をちょうど 1 回ずつ通り、出発した頂点に戻ってくる道のことである（同じ頂点は何度通ってもよい）。

$K_n$ がオイラー閉路をもつような $n$ をすべて求めよ。