生態と環境の問題

密度効果があると、個体群密度が高くなるほど 1 個体あたりの増加数 $\frac{\Delta N}{N}$ が小さくなる。ここでは $\frac{\Delta N}{N}$ が $N$ の一次関数で、$N=K$（環境収容力）のとき $0$ になると考える。

手順 1: 表から一次関数を決める。
$N$ が $100$ から $400$ へ $300$ 増えると、$\frac{\Delta N}{N}$ は $0.9$ から $0.6$ へ $0.3$ 減っている。よって、傾きは
$$\frac{0.6-0.9}{400-100}=\frac{-0.3}{300}=-0.001$$
$\frac{\Delta N}{N}=a+(-0.001)N$ とおき、$N=100$ のとき $0.9$ なので
$$0.9=a-0.001\times 100=a-0.1\text{より}a=1.0$$
よって
$$\frac{\Delta N}{N}=1.0-0.001N=1.0\left(1-\frac{N}{1000}\right)$$
となり、$r=1.0$、$K=1000$ である。

手順 2: $N=600$ のときの 1 個体あたりの増加数を求める。
$$\frac{\Delta N}{N}=1.0\times \left(1-\frac{600}{1000}\right)=1.0\times 0.4=0.4$$

手順 3: 増加数を求める。
$$\Delta N=0.4\times 600=240$$

したがって、1 日の間の個体数の増加数は $240$ 個体である。

$\frac{\Delta N}{N}=r\left(1-\frac{N}{K}\right)$ に表の値を代入する。$N=100$ で $r\left(1-\frac{100}{K}\right)=0.9$、$N=400$ で $r\left(1-\frac{400}{K}\right)=0.6$。差をとると $r\times \frac{300}{K}=0.3$ より $\frac{r}{K}=0.001$。これを 1 つ目の式 $r-100\cdot \frac{r}{K}=0.9$ に代入して $r-0.1=0.9$ より $r=1.0$、$K=1000$。$N=600$ のとき $\frac{\Delta N}{N}=1.0\times \left(1-\frac{600}{1000}\right)=0.4$。$\Delta N=0.4\times 600=240$ 個体。検算: $N=100$ で $1.0\times 0.9=0.9$、$N=400$ で $1.0\times 0.6=0.6$ となり表と一致する。