密度効果と 1 個体あたりの増加数

1 個体あたりの増加数 $\frac{Δ N}{N}$ が $N$ の一次関数で $N = K$ で 0 になる関係 $\frac{Δ N}{N} = r (1 - \frac{N}{K})$ を表のデータから決め、増加数や数日後の個体数を求められる

前提

環境収容力（高校生物生態と環境）

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算数中学高校大学大学院

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環境収容力（高校生物生態と環境）

説明

個体数がまだ少ないときには個体群はどんどん増えますが、個体数が環境収容力 $K$ に近づくにつれて増え方がにぶっていきます。この技能では、その「にぶり方」を、1 個体あたりの増加数 $\frac{Δ N}{N}$ （一定の期間に増えた個体数 $Δ N$ を、そのときの個体数 $N$ で割った値）が $N$ の一次関数で、 $N = K$ のとき 0 になる、という式
$\frac{Δ N}{N} = r (1 - \frac{N}{K})$
で表します。表のデータから $r$ と $K$ を決め、ある個体数のときの増加数や、一定期間後の個体数を求められるようになります。

なぜそうしてよいのか

前の技能で見たように、個体群密度が高くなるほど、1 個体あたりの餌や空間が減り、出生率が下がったり死亡率が上がったりします（密度効果）。そのため、1 個体が一定期間に増やす数、つまり 1 個体あたりの増加数 $\frac{Δ N}{N}$ は、個体数 $N$ が大きいほど小さくなります。最も簡単なモデルとして、この減り方が $N$ に比例する、つまり $\frac{Δ N}{N}$ が $N$ の一次関数（グラフが右下がりの直線）だと考えます。

この直線は次の 2 点で決まります。
- 個体数がごく少なく密度効果がほとんどないときの値（ $N$ を 0 に近づけたときの $\frac{Δ N}{N}$ 、つまり直線の切片）を $r$ とする
- 個体数が環境収容力 $K$ に達すると、個体数はもう増えないので $Δ N = 0$ 、つまり $N = K$ で $\frac{Δ N}{N} = 0$ となる

切片が $r$ で、 $N = K$ で 0 になる直線の式は $\frac{Δ N}{N} = r - \frac{r}{K} N = r (1 - \frac{N}{K})$ です。 $1 - \frac{N}{K}$ は「環境収容力のうち、まだ空いている割合」と読めます。 $N$ が小さいときはほぼ 1 なので増え方は $r$ に近く、 $N$ が $K$ に近づくと 0 に近づいて増え方が止まります。

両辺に $N$ をかけると、個体群全体の増加数は $Δ N = r N (1 - \frac{N}{K})$ です。一定期間後の個体数は、今の個体数にこの増加数を足して $N + Δ N$ で求められます。データが 2 組あれば、一次関数の 2 点から直線の式を決めるのと同じように、 $r$ と $K$ を決めることができます。

手順

表の各データについて、1 個体あたりの増加数 $\frac{Δ N}{N}$ を計算する
$\frac{Δ N}{N}$ を $N$ の一次関数 $\frac{Δ N}{N} = a + b N$ とみて、2 組のデータから傾き $b$ と切片 $a$ を求める
切片から $r = a$ 、 $\frac{Δ N}{N} = 0$ となる $N$ から $K = - \frac{a}{b}$ を求め、 $\frac{Δ N}{N} = r (1 - \frac{N}{K})$ の形にする
求めたい個体数 $N$ を代入して増加数 $Δ N = r N (1 - \frac{N}{K})$ を求める。一定期間後の個体数は $N + Δ N$

例題

ある容器でゾウリムシを培養した。個体数が $N$ のとき、その後 1 日間に増えた個体数を $Δ N$ とする。いろいろな時点で調べたところ、次の表の結果が得られた。

その時点の個体数 $N$	1 日間の増加数 $Δ N$
100	80
300	120

1 個体あたりの増加数 $\frac{Δ N}{N}$ は $N$ の一次関数で、 $N$ が環境収容力 $K$ に等しいとき 0 になるものとする。ある時点で個体数が 400 であったとき、その 1 日後の個体数を求めよ。

例題の解答

手順 1：1 個体あたりの増加数を求める。 $N = 100$ のとき $\frac{80}{100} = 0.8$ 、 $N = 300$ のとき $\frac{120}{300} = 0.4$ 。

手順 2： $\frac{Δ N}{N} = a + b N$ とおくと、傾きは
$b = \frac{0.4 - 0.8}{300 - 100} = \frac{- 0.4}{200} = - 0.002$
切片は $0.8 = a - 0.002 \times 100$ より $a = 1.0$ 。

手順 3： $r = 1.0$ 。 $\frac{Δ N}{N} = 0$ となるのは $1.0 - 0.002 N = 0$ より $N = 500$ なので $K = 500$ 。よって
$\frac{Δ N}{N} = 1.0 \times (1 - \frac{N}{500})$
（確かめ： $N = 100$ で $1 - 0.2 = 0.8$ 、 $N = 300$ で $1 - 0.6 = 0.4$ となり、表と合う。）

手順 4： $N = 400$ を代入すると、1 個体あたりの増加数は $1.0 \times (1 - \frac{400}{500}) = 0.2$ なので、増加数は
$Δ N = 400 \times 0.2 = 80$
1 日後の個体数は $400 + 80 = 480$ 。

答え: $480$

よくある誤り

増加数 $Δ N$ そのものを $N$ の一次関数としてしまう誤り。例題で $Δ N$ が $80, 120$ と増えているので $N = 400$ では $140$ などとするのは誤り。正しくは 1 個体あたりの増加数 $\frac{Δ N}{N}$ が一次関数で、 $Δ N = r N (1 - \frac{N}{K})$ は $N$ の二次式になる（ $N = 400$ では $80$ ）
1 個体あたりの増加数を求めたところで止めて、それを答えにしてしまう誤り。 $N = 400$ で $\frac{Δ N}{N} = 0.2$ のとき、増加数は $Δ N = 400 \times 0.2 = 80$ で、1 日後の個体数は $400 + 80 = 480$
1 日後の個体数を求めるのに増加数だけを答えてしまう誤り、または $N \times \frac{Δ N}{N}$ を 1 日後の個体数としてしまう誤り。正しくは $N + Δ N$ （例題では $80$ ではなく $480$ ）
環境収容力 $K$ を、表の中で最も大きい個体数（例題では 300）としてしまう誤り。正しくは $\frac{Δ N}{N} = 0$ となる $N$ で、 $1.0 - 0.002 N = 0$ より $K = 500$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
一定の条件で飼育したある昆虫の個体群について、個体数 $N$ と、1 日あたりの 1 個体あたりの増加数 $\frac{Δ N}{N}$ （ $Δ N$ は 1 日の間の個体数の増加数）を調べたところ、次の表のようになった。
個体数 $N$ 100 400
1 個体あたりの増加数 $\frac{Δ N}{N}$ 0.9 0.6
密度効果により、 $\frac{Δ N}{N}$ は $N$ の一次関数として $\frac{Δ N}{N} = r (1 - \frac{N}{K})$ （ $r$ , $K$ は正の定数）で表されるものとする。個体数が $N = 600$ のとき、1 日の間の個体数の増加数 $Δ N$ は何個体か。

個体数 $N$	100	400
1 個体あたりの増加数 $\frac{Δ N}{N}$	0.9	0.6

この技能を使う問題

はじめの個体数 $N$	100	200	400	600
1 日間の増加数 $Δ N$	72	128	192	192

$N$ （個体/mL）	50	100	200	300
$Δ N$ （個体/mL）	45	80	120	120

この技能の次に学べること

一定数を取り除くときの平衡（高校生物生態と環境）