生態と環境の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル高校生物生態と環境

ゾウリムシを一定量の培養液で、一定の条件のもとで培養した。個体群密度 $N$ （個体/mL）のときの「1 日あたりの個体群密度の増加量 $Δ N$ （個体/mL）」を測定したところ、次の表の結果が得られた。この測定のあいだ、ゾウリムシの取り出しは行っていない。

$N$ （個体/mL）	50	100	200	300
$Δ N$ （個体/mL）	45	80	120	120

この培養系では、1 個体あたりの増加率 $\frac{Δ N}{N}$ が $N$ の一次関数で表され、 $N$ が大きくなるほど直線的に小さくなることがわかっている。

この培養系で、個体群密度が環境収容力に達して一定になったのち、毎日 1 回、その日の増加が起こった後に培養液 1 mL あたり 80 個体の割合でゾウリムシを取り除く操作を始めた。取り除いた直後の密度が、翌日の初めの密度となる。取り除く操作以外の条件は変えず、1 日あたりの増加量は常にその日の初めの $N$ と上の関係で決まるものとする。また、個体群密度は連続的な値として扱ってよい。

この操作を長く続けたとき、毎日の取り除いた直後（翌日の初め）の個体群密度は、最終的に何個体/mL で一定になるか。

この問題で使うもの

密度効果と 1 個体あたりの増加数（説明と入口の問題）
一定数を取り除くときの平衡（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（33 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

表の各密度について、1 個体あたりの増加率 $Δ N / N$ を計算し、 $N$ との関係を一次式で表してみよう。増加率が $0$ になる密度が環境収容力である。

ヒント 2

取り除きを始めた後の翌日の初めの密度は $g (N) = N + N (1 - \frac{N}{500}) - 80$ である。密度が一定になるのは $g (N) = N$ のときである。

ヒント 3

$N^{2} - 500 N + 40000 = 0$ の 2 つの解のうち、出発点 $N = 500$ からどちらに近づくかを調べる。 $g (N)$ を平方完成して $N ≦ 500$ での増減を調べ、 $g (N) - 400$ を因数分解して $400 < N ≦ 500$ での符号と大きさを調べよう。

答えと解説

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400

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解説を読む

1. 1 個体あたりの増加率を求める

表から $\frac{Δ N}{N}$ を計算すると次のようになる。

$N = 50$ のとき $\frac{45}{50} = 0.9$
$N = 100$ のとき $\frac{80}{100} = 0.8$
$N = 200$ のとき $\frac{120}{200} = 0.6$
$N = 300$ のとき $\frac{120}{300} = 0.4$

$N$ が $100$ 増えるごとに増加率は $0.2$ ずつ下がるので
$\frac{Δ N}{N} = 1.0 - 0.002 N$
と表せる。

2. 環境収容力を求める

取り除きがないとき密度が一定になるのは増加率が $0$ のときなので、 $1.0 - 0.002 N = 0$ より $N = 500$ である。環境収容力は 500 個体/mL であり、
$Δ N = N (1 - \frac{N}{500})$
と書ける。

3. 取り除きを始めた後に密度が一定になる条件

ある日の初めの密度を $N$ とすると、その日の増加と取り除きの後の密度（翌日の初めの密度）は
$g (N) = N + N (1 - \frac{N}{500}) - 80 = 2 N - \frac{N ^{2}}{500} - 80$
である。日の初めの密度が一定になるのは $g (N) = N$ 、すなわち
$N (1 - \frac{N}{500}) = 80$
のときである。両辺に $500$ をかけて整理すると
$N^{2} - 500 N + 40000 = 0$
$(N - 100) (N - 400) = 0$
よって $N = 100$ または $N = 400$ である。

4. どちらの値に落ち着くかを調べる

操作を始めた日の初めの密度は $N = 500$ である。

(a) $g (N)$ を平方完成すると
$g (N) = - \frac{( N - 500 ) ^{2}}{500} + 420$
となるので、 $g (N)$ は $N ≦ 500$ の範囲で $N$ が大きいほど大きい（単調に増加する）。 $g (400) = 400$ だから、 $400 < N ≦ 500$ ならば $g (N) > g (400) = 400$ である。つまり、翌日の初めの密度は $400$ を下回らない（行き過ぎない）。

(b) $400 < N ≦ 500$ では、増加量 $N (1 - \frac{N}{500}) = - \frac{( N - 250 ) ^{2}}{500} + 125$ は $N > 250$ で $N$ とともに減り、 $N = 400$ で $80$ なので $80$ より小さい。よって $g (N) < N$ であり、密度は毎日減る。

(c) さらに $400$ との差を計算すると
$g (N) - 400 = 2 N - \frac{N ^{2}}{500} - 480 = - \frac{N ^{2} - 1000 N + 240000}{500} = \frac{( N - 400 ) ( 600 - N )}{500}$
であり、 $400 < N ≦ 500$ では $600 - N ≦ 200$ なので
$0 < g (N) - 400 ≦ \frac{200}{500} (N - 400) = 0.4 (N - 400)$
となる。 $400$ との差は 1 日ごとに $0.4$ 倍以下に縮まるので、差は $0$ に近づく。

実際に計算すると、 $N = 500 \to 420 \to 407.2 \to \dots$ となり（ $400$ との差は $100 \to 20 \to 7.2 \to \dots$ ）、日の初めの密度は $400$ より大きい値を保ったまま減り続けて $400$ に近づく。 $N = 100$ の側に移ることはない。

なお、このとき毎日の増加後・取り除き前の密度は $400 + 80 = 480$ 個体/mL となり、毎日 $80$ 個体/mL の増加と取り除きがつり合う。

したがって、毎日の取り除いた直後の個体群密度は最終的に 400 個体/mL で一定になる。

別解

表から 1 個体あたりの増加率 $Δ N / N$ を求めると、 $N = 50, 100, 200, 300$ のとき 0.9, 0.8, 0.6, 0.4 となる。これは $N$ の一次関数で、 $Δ N / N = 1 - N /500$ と表せる（4 点とも一致する）。よって $Δ N = N (1 - N /500)$ で、 $Δ N = 0$ となる $N = 500$ が環境収容力である。

毎日初めの密度を $N$ とすると、増加後は $N + N (1 - N /500) = 2 N - N^{2} /500$ になる。ここから 80 を取り除くので、翌日の初めの密度は
$N^{'} = 2 N - N^{2} /500 - 80$ 。

一定になる値は $N^{'} = N$ より $N^{2} /500 - N + 80 = 0$ 、すなわち $N^{2} - 500 N + 40000 = 0$ 。これを解くと $N = (500 \pm 300) /2$ で、 $N = 400$ または $100$ である。

安定性は $f (N) = 2 N - N^{2} /500 - 80$ の傾き $f^{'} (N) = 2 - N /250$ で調べる。 $N = 400$ では $f^{'} = 0.4$ で、絶対値が 1 未満なので安定。 $N = 100$ では $f^{'} = 1.6$ で、絶対値が 1 より大きいので不安定。

最初は $N = 500$ から始める。増加は 0 なので、取り除いた直後は 420 になる。次の日は $2 \cdot 420 - 42 0^{2} /500 - 80 = 407.2$ で、その後も 400 に近づく。

検算： $N = 400$ のとき $400 + 400 (1 - 0.8) = 480$ 、 $480 - 80 = 400$ で一定になる。

したがって、最終的に 400 個体/mL で一定になる。

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標識の状態	個体数
2 個とも残っている	$45$
どちらか一方だけ残っている	$30$
標識が 1 個も見られない	$105$

標識の種類	個体数
白色の標識のみ	25
青色の標識のみ	15
標識なし	120

項目	一次消費者	二次消費者
摂食量	2400	—
不消化排出量	900	120
呼吸量	950	—
死滅量	120	—
成長量	130	—