静水での速さが時速 km の船が、流れの速さが時速 km の川を、川下の A 地点から km 川上にある B 地点まで上ります。A 地点から B 地点まで上るのに何時間かかりますか。
流水算
上りの速さ ＝ 静水での速さ − 流れの速さ、下りの速さ ＝ 静水での速さ ＋ 流れの速さ の関係を使い、上り・下りの速さから静水での速さや流れの速さを求め、かかる時間を求められる
前提
- 速さ・時間・道のりの関係 （算数 速さ）
この技能までの道筋（2 技能）
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- 速さ・時間・道のりの関係 （算数 速さ）
説明
川を進む船の速さは、流れにのって下るときは速くなり、流れにさからって上るときはおそくなります。この技能では、「上りの速さ ＝ 静水での速さ − 流れの速さ」「下りの速さ ＝ 静水での速さ ＋ 流れの速さ」の関係を使って、上りと下りの速さから船の静水での速さや川の流れの速さを求めたり、上り・下りにかかる時間を求めたりできるようになります。このような問題を流水算といいます。
なぜそうしてよいのか
静水での速さとは、流れのない水（池など）での船の速さです。川では、船は自分の力で進むのに加えて、水といっしょに流されます。下るときは、船が自分で進む向きと流れの向きが同じなので、1 時間に進む道のりは「静水での速さ ＋ 流れの速さ」になります。上るときは流れにおしもどされるので、「静水での速さ − 流れの速さ」になります。
この 2 つを線分図でならべると、下りの速さと上りの速さは、静水での速さをまん中にして、流れの速さの分だけ長い・短いという関係です。だから、下りの速さと上りの速さの差は流れの速さの 2 つ分になり、
流れの速さ ＝ （下りの速さ − 上りの速さ）÷ 2
です。また、下りの速さと上りの速さの和は静水での速さの 2 つ分になり、
静水での速さ ＝ （下りの速さ ＋ 上りの速さ）÷ 2
です。これは和差算と同じ考え方です。
手順
問題文から、上り・下りの道のりと時間、または速さを書き出す。
上りの速さと下りの速さを求める。速さ ＝ 道のり ÷ 時間。
流れの速さを求めるときは （下りの速さ − 上りの速さ）÷ 2、静水での速さを求めるときは （下りの速さ ＋ 上りの速さ）÷ 2 を計算する。
静水での速さと流れの速さがわかっているときは、上りの速さ ＝ 静水での速さ − 流れの速さ、下りの速さ ＝ 静水での速さ ＋ 流れの速さ を求める。
かかる時間を求めるときは、道のり ÷ 上り（または下り）の速さ を計算する。
例題
ある船が、川ぞいの 36 km はなれた 2 つの町の間を往復しました。上りには 3 時間、下りには 2 時間かかりました。川の流れの速さは時速何 km ですか。ただし、船の静水での速さと川の流れの速さは、それぞれ一定とします。
例題の解答
手順 1: 上りは 36 km を 3 時間、下りは 36 km を 2 時間です。
手順 2: 上りの速さは で時速 12 km、下りの速さは で時速 18 km です。
手順 3: 下りの速さと上りの速さの差は、流れの速さの 2 つ分なので、流れの速さは で時速 3 km です。（静水での速さは で時速 15 km です。）
手順 4: 確かめると、上りは 、下りは で、手順 2 と合っています。
よって、川の流れの速さは時速 3 km です。
答え:
よくある誤り
下りと上りの速さの差をそのまま流れの速さとしてしまう誤り（例: で時速 6 km）。差は流れの速さの 2 つ分なので、 で時速 3 km。
上りと下りを逆にしてしまう誤り（例: 上りの速さを 静水での速さ ＋ 流れの速さ とする）。流れにさからう上りはおそくなるので、上りの速さ ＝ 静水での速さ − 流れの速さ。
上りと下りの時間の合計で往復の道のりをわって、それを静水での速さとしてしまう誤り（例: で時速 14.4 km）。これは往復の平均の速さで、静水での速さではない。静水での速さは で時速 15 km。
時間の差を使って流れの速さを求めてしまう誤り（例: 時間の差から考える）。先に上りと下りそれぞれの速さ（時速 12 km と 18 km）を求めてから、速さの差を 2 でわる。
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。
入口の問題
この技能を使う問題
川の上流に A 町、下流に B 町があり、A 町と B 町は川にそって はなれています。ふだん、ある船は B 町から A 町まで上るのに 時間、A 町から B 町まで下るのに 時間かかります。
ある日、大雨のため川の流れの速さがふだんの 倍になりました。この日、この船が B 町から A 町まで上るのに何分かかりますか。ただし、静水での船の速さはいつも同じとします。
川の上流に A 町、下流に B 町があり、A 町と B 町は川にそって 24 km はなれています。川の流れの速さは時速 2 km で、静水での速さが時速 10 km の船が、A 町から B 町まで川を下りました。ところが、とちゅうで船のエンジンが止まってしまい、しばらくの間、船は川の流れだけで流されました。その後エンジンが直り、ふたたび同じ静水での速さで B 町まで下ったところ、A 町を出発してから B 町に着くまでに 2 時間 40 分かかりました。エンジンが止まっていたのは何分間ですか。