卵割の回数と細胞の数

すべての割球が同時に分裂する卵割で、第 $n$ 卵割後の細胞数 $2^{n}$ と、受精から卵割までの時間と卵割の間隔から、ある時刻の細胞数やある細胞数になる時刻を求められる

前提

分裂の回数と細胞の数（中学理科生命の連続性と遺伝）
卵割と初期発生・胚葉の分化（高校生物遺伝と生殖・発生（知識））

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算数中学高校大学大学院

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卵割と初期発生・胚葉の分化（高校生物遺伝と生殖・発生（知識））

説明

受精卵は卵割をくり返して細胞（割球）の数をふやしていきます。すべての割球が同時に分裂する卵割では、第 $n$ 卵割が終わったあとの細胞数は $2^{n}$ 個になります。この技能を使うと、受精から最初の卵割までの時間と卵割の間隔から、ある時刻の細胞数や、細胞数がある値になる時刻を計算できます。

なぜそうしてよいのか

受精卵は 1 個の細胞です。卵割では、そのときあるすべての割球が同時に 1 回ずつ分裂し、1 個が 2 個になるので、卵割が 1 回起こるたびに細胞数は 2 倍になります。したがって第 1 卵割後は $2$ 個、第 2 卵割後は $2^{2} = 4$ 個、…、第 $n$ 卵割後は $2^{n}$ 個です。これは前提の「 $n$ 回分裂したあとの細胞の数 $2^{n}$ 」と同じ考え方です。卵割では細胞が成長せずに分裂を続けるので、割球は分裂のたびに小さくなりますが、数は規則正しく倍になります。

時刻との対応は、第 1 卵割が受精後 $t_{1}$ 分に起こり、その後は $d$ 分ごとに次の卵割が起こるとすると、第 2 卵割は $t_{1} + d$ 分、第 3 卵割は $t_{1} + 2 d$ 分、…と、1 回ごとに $d$ ずつ遅くなります。よって第 $n$ 卵割の時刻は $t_{1} + (n - 1) d$ 分です。第 1 卵割までは $d$ ではなく $t_{1}$ かかるので、 $(n - 1)$ を掛けるところがポイントです。

ある時刻の細胞数を求めるときは、その時刻までに何回目の卵割まで終わっているかを数えて $2^{n}$ にします。逆にある細胞数になる時刻を求めるときは、細胞数を $2^{n}$ と表して $n$ を求め、第 $n$ 卵割の時刻を計算します。

手順

細胞数と卵割の回数を対応させる：第 $n$ 卵割後の細胞数は $2^{n}$ 個（受精卵は $2^{0} = 1$ 個）
問題文から、受精から第 1 卵割までの時間 $t_{1}$ と、卵割の間隔 $d$ を読み取る
第 $n$ 卵割の時刻を $t_{1} + (n - 1) d$ と表す
細胞数から時刻を求めるときは、細胞数 $= 2^{n}$ となる $n$ を求めて、手順 3 の式に代入する
時刻から細胞数を求めるときは、 $t_{1} + (n - 1) d \leq$ （その時刻）を満たす最大の $n$ を求め、細胞数 $2^{n}$ を答える

例題

ある動物の受精卵では、受精の 90 分後に第 1 卵割が起こり、その後は 30 分ごとにすべての割球が同時に分裂して卵割が進む。卵割は瞬時に完了するものとする。胚の細胞数がはじめて 64 個になるのは受精の何分後か。

例題の解答

手順 1： $64 = 2^{6}$ なので、細胞数が 64 個になるのは第 6 卵割のあとである。

手順 2：受精から第 1 卵割までの時間は $t_{1} = 90$ 分、卵割の間隔は $d = 30$ 分。

手順 3・4：第 6 卵割の時刻は
$t_{1} + (6 - 1) d = 90 + 5 \times 30 = 240$
より、受精の 240 分後である。

（確かめ：第 1〜第 6 卵割は 90, 120, 150, 180, 210, 240 分後で、細胞数は 2, 4, 8, 16, 32, 64 個。）

よって 240 分後。

答え: $240$

よくある誤り

第 $n$ 卵割の時刻を $t_{1} + n d$ としてしまう誤り。第 1 卵割の時刻が $t_{1}$ なので、そこから $d$ を足す回数は $n - 1$ 回。正しくは $t_{1} + (n - 1) d$ （例： $90 + 5 \times 30 = 240$ 分。 $90 + 6 \times 30 = 270$ 分ではない）
受精から第 1 卵割までの時間も卵割の間隔と同じだとして、第 $n$ 卵割の時刻を $n d$ としてしまう誤り。最初の卵割までの時間 $t_{1}$ は間隔 $d$ と異なることが多いので、 $t_{1}$ と $d$ を区別して $t_{1} + (n - 1) d$ を使う
第 $n$ 卵割後の細胞数を $2 n$ 個や $2^{n + 1}$ 個としてしまう誤り。受精卵 1 個が毎回 2 倍になるので、正しくは $2^{n}$ 個（第 3 卵割後は $2^{3} = 8$ 個で、 $6$ 個や $16$ 個ではない）
細胞数 64 個を「64 回分裂した」としたり、 $64 \div 2 = 32$ 回としたりする誤り。正しくは $64 = 2^{n}$ となる $n = 6$ を卵割の回数とする

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
ある動物の受精卵を観察したところ、受精から 90 分後に第 1 卵割が起こり、その後は 30 分ごとに卵割がくり返された。この卵割では、毎回すべての割球が同時に分裂して、それぞれ 2 個の細胞になる。
受精から 225 分後の胚の細胞の数は何個か。ただし、卵割は一瞬で終わるものとし、割球が失われることはないものとする。

この技能を使う問題

難易度 3（共通テストレベル）
ある動物の受精卵の発生を観察したところ、次のことがわかった。
- 受精した時刻を受精後 $0$ 分とする。第一卵割は受精後 $60$ 分に起こり、その後、第二卵割・第三卵割・第四卵割は $40$ 分ごとに、すべての細胞で同時に起こった。
- 第四卵割で $16$ 細胞期になったとき、動物極側の $8$ 個の細胞は同じ大きさの「中割球」になった。植物極側では不等割が起こり、 $4$ 個の「大割球」と $4$ 個の「小割球」ができた。
- 第四卵割より後は、それぞれの割球とその子孫の細胞が、次の表の間隔で分裂を続けた。同じ種類の割球に由来する細胞はすべて同時に分裂した。
割球の種類第四卵割の直後の細胞数分裂の間隔
中割球 $8$ $40$ 分
大割球 $4$ $60$ 分
小割球 $4$ $120$ 分
たとえば中割球に由来する細胞は、第四卵割の $40$ 分後に初めて分裂する。分裂は瞬間的に起こり、1 回の分裂で 1 個の細胞は 2 個になるものとする。また、この間に細胞が死ぬことはないものとする。
この胚の細胞の総数が初めて $300$ 個を超えるのは、受精後何分か求めよ。

割球の種類	第四卵割の直後の細胞数	分裂の間隔
中割球	$8$	$40$ 分
大割球	$4$	$60$ 分
小割球	$4$	$120$ 分

難易度 3（共通テストレベル）

ある海産動物の受精卵は、受精後 $60$ 分に第 $1$ 卵割を行い、その後は $40$ 分ごとにすべての割球が同時に分裂して、受精後 $180$ 分の第 $4$ 卵割で $16$ 細胞期になる。 $16$ 細胞期の胚は、動物極側の中割球 $8$ 個、植物極側の大割球 $4$ 個、植物極にある小割球 $4$ 個からなる。その後の分裂は、細胞の系列ごとに次のように起こる。

細胞の系列	その後の分裂のしかた
中割球とその子孫	受精後 $220$ 分に分裂し、以後 $40$ 分ごとに分裂する
大割球とその子孫	受精後 $230$ 分に分裂し、以後 $50$ 分ごとに分裂する
小割球	受精後 $230$ 分に $1$ 回だけ分裂し、それぞれ大きい細胞 $1$ 個と小さい細胞 $1$ 個になる
小割球から生じた大きい細胞とその子孫	受精後 $290$ 分に分裂し、以後 $60$ 分ごとに分裂する
小割球から生じた小さい細胞	観察した時間内には分裂しない

同じ系列の細胞はすべて同時に分裂し、分裂は表の時刻に瞬時に完了して $1$ 個の細胞が $2$ 個になるものとする。また、観察した時間内に細胞の死は起こらないものとする。胚全体の細胞数が初めて $400$ 個以上になるのは受精後何分か。

この技能の次に学べること

分裂の間隔が異なる細胞群の細胞数（高校生物遺伝と生殖・発生）