分裂の間隔が異なる細胞群の細胞数

割球の種類（中割球・大割球・小割球など）ごとに分裂の間隔や開始時刻が異なる胚について、系列ごとの細胞数を時刻に沿って表にまとめて合計し、胚全体の細胞数がある数を初めてこえる時刻を求められる

前提

卵割の回数と細胞の数（高校生物遺伝と生殖・発生）

この技能までの道筋（12 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

細胞のつくり（中学理科生物分野の用語と知識）
植物のからだのつくり（中学理科生物分野の用語と知識）
細胞分裂と生物のふえ方（中学理科生物分野の用語と知識）
細胞分裂と染色体の数（中学理科生命の連続性と遺伝）
分裂の回数と細胞の数（中学理科生命の連続性と遺伝）
生物の共通性と原核細胞・真核細胞（高校生物細胞と分子（知識））
細胞小器官のはたらき（高校生物細胞と分子（知識））
細胞周期と体細胞分裂の各期（高校生物細胞と分子（知識））
減数分裂の過程（高校生物遺伝と生殖・発生（知識））
動物の配偶子形成と受精（高校生物遺伝と生殖・発生（知識））
卵割と初期発生・胚葉の分化（高校生物遺伝と生殖・発生（知識））
卵割の回数と細胞の数（高校生物遺伝と生殖・発生）

説明

卵割が進むと、割球の種類（中割球・大割球・小割球など）によって分裂の間隔や分裂を始める時刻が違ってくることがあります。このとき胚全体の細胞数は、全体を $2^{n}$ の 1 本の式で表すことができません。この技能では、割球の種類ごと（系列ごと）に細胞数を時刻に沿って表にまとめ、それらを合計して、胚全体の細胞数がある数を初めてこえる時刻を求めます。

なぜそうしてよいのか

同じ種類の割球どうしは同時に分裂するので、1 つの系列だけを見れば、前提の技能と同じように「分裂が 1 回起こるごとに細胞数が 2 倍」になります。ある系列の細胞がはじめ $a$ 個あり、その後 $k$ 回分裂していれば、その系列の細胞数は $a \times 2^{k}$ 個です。分裂の時刻は「最初の分裂の時刻 $t_{1}$ 、その後は間隔 $d$ ごと」なので、 $t_{1}, t_{1} + d, t_{1} + 2 d, \dots$ と並べられます。

系列が違えば分裂の時刻がずれるので、胚全体の細胞数は、どれか 1 つの系列が分裂するたびに増えます。そこで、どれかの系列が分裂する時刻をすべて小さい順に並べ、その時刻ごとに各系列の細胞数を書き、合計を出します。合計は分裂の時刻にしか変わらず、それ以外の時刻ではその直前の値のままなので、この表を見れば「初めて〇個をこえる時刻」がわかります。

胚全体の細胞数は時間とともに増える一方なので、表の合計を上から順に見ていき、指定の数をはじめてこえた行の時刻が答えになります。ちょうどその数に等しいだけでは「こえた」ことにならない点に注意します。

手順

問題文から、系列（割球の種類）ごとに、はじめの細胞数・最初の分裂の時刻・分裂の間隔を読み取る
系列ごとに分裂の時刻を書き出す（最初の分裂の時刻を $t_{1}$ 、間隔を $d$ として $t_{1}, t_{1} + d, t_{1} + 2 d, \dots$ ）
どれかの系列が分裂する時刻を小さい順に並べた表を作り、各時刻での系列ごとの細胞数（はじめの数 $\times 2^{それまでの分裂回数}$ ）を書く
各時刻で系列ごとの細胞数を合計し、合計が指定の数を初めてこえる（等しいだけではこえない）時刻を答える

例題

ある動物の胚を観察したところ、観察を始めた時刻（0 分）には、割球 P が 4 個、割球 Q が 4 個の合計 8 個の細胞からなっていた。割球 P は観察開始の 30 分後に最初の分裂をし、その後も 30 分ごとに分裂する。割球 Q は観察開始の 45 分後に最初の分裂をし、その後も 45 分ごとに分裂する。同じ種類の割球はすべて同時に分裂し、分裂は瞬時に完了し、分裂で生じた細胞はもとの割球と同じ種類で同じ間隔で分裂を続けるものとする。胚全体の細胞数が初めて 50 個をこえるのは、観察開始の何分後か。

例題の解答

手順 1：割球 P ははじめ 4 個、最初の分裂 30 分後、間隔 30 分。割球 Q ははじめ 4 個、最初の分裂 45 分後、間隔 45 分。

手順 2：P の分裂は 30, 60, 90, 120, … 分後。Q の分裂は 45, 90, 135, … 分後。

手順 3・4：分裂の時刻を小さい順に並べ、各時刻の細胞数と合計をまとめる。

時刻（分）	P の細胞数	Q の細胞数	合計
0	4	4	8
30	8	4	12
45	8	8	16
60	16	8	24
90	32	16	48
120	64	16	80

90 分後の合計は $32 + 16 = 48$ で 50 以下。次に細胞数が変わるのは P が分裂する 120 分後で、合計は $64 + 16 = 80$ となり 50 をこえる。90 分後から 120 分後の間は細胞数は 48 のままなので、初めて 50 個をこえるのは 120 分後。

答え: $120$

よくある誤り

すべての割球がいちばん短い間隔で同時に分裂するとして、全体を $8 \times 2^{n}$ で計算してしまう誤り。例題では $8 \times 2^{3} = 64$ から 90 分後とするのは誤りで、正しくは系列ごとに数えて 90 分後は $32 + 16 = 48$ 個、答えは 120 分後
2 つの系列が同じ時刻に分裂する場合に、一方の分裂を数え落とす誤り。例題の 90 分後は P も Q も分裂するので、P は $4 \times 2^{3} = 32$ 個、Q は $4 \times 2^{2} = 16$ 個。Q を 8 個のままにしないこと
系列ごとの分裂回数を、最初の分裂の時刻を考えずに $\frac{時刻}{間隔}$ としてしまう誤り。最初の分裂の時刻 $t_{1}$ が間隔 $d$ と違うときは、時刻 $t$ までの分裂回数は $t_{1} + (k - 1) d \leq t$ を満たす最大の $k$ で数える（ $t_{1} \leq t$ のとき）
合計がちょうど指定の数に等しくなった時刻を「こえた」時刻としてしまう誤り。「こえる」は指定の数より大きくなることなので、合計 $>$ 指定の数となる最初の時刻を選ぶ

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
ある動物の胚を観察し始めた時刻（0 分）には、小さい割球 4 個からなる細胞群 P と、大きい割球 4 個からなる細胞群 Q があり、胚全体の細胞の数は 8 個であった。
その後、細胞群 P の細胞は 20 分ごと（20 分後、40 分後、60 分後、…）に、細胞群 Q の細胞は 40 分ごと（40 分後、80 分後、…）に分裂した。どちらの細胞群でも、群の中のすべての細胞が同時に分裂し、それぞれ 2 個の細胞になる。
胚全体の細胞の数が初めて 50 個をこえるのは、観察を始めてから何分後か。ただし、分裂は一瞬で終わり、細胞が失われることはないものとする。

この技能を使う問題

難易度 3（共通テストレベル）
ある動物の受精卵の発生を観察したところ、次のことがわかった。
- 受精した時刻を受精後 $0$ 分とする。第一卵割は受精後 $60$ 分に起こり、その後、第二卵割・第三卵割・第四卵割は $40$ 分ごとに、すべての細胞で同時に起こった。
- 第四卵割で $16$ 細胞期になったとき、動物極側の $8$ 個の細胞は同じ大きさの「中割球」になった。植物極側では不等割が起こり、 $4$ 個の「大割球」と $4$ 個の「小割球」ができた。
- 第四卵割より後は、それぞれの割球とその子孫の細胞が、次の表の間隔で分裂を続けた。同じ種類の割球に由来する細胞はすべて同時に分裂した。
割球の種類第四卵割の直後の細胞数分裂の間隔
中割球 $8$ $40$ 分
大割球 $4$ $60$ 分
小割球 $4$ $120$ 分
たとえば中割球に由来する細胞は、第四卵割の $40$ 分後に初めて分裂する。分裂は瞬間的に起こり、1 回の分裂で 1 個の細胞は 2 個になるものとする。また、この間に細胞が死ぬことはないものとする。
この胚の細胞の総数が初めて $300$ 個を超えるのは、受精後何分か求めよ。

割球の種類	第四卵割の直後の細胞数	分裂の間隔
中割球	$8$	$40$ 分
大割球	$4$	$60$ 分
小割球	$4$	$120$ 分

難易度 3（共通テストレベル）

ある海産動物の受精卵は、受精後 $60$ 分に第 $1$ 卵割を行い、その後は $40$ 分ごとにすべての割球が同時に分裂して、受精後 $180$ 分の第 $4$ 卵割で $16$ 細胞期になる。 $16$ 細胞期の胚は、動物極側の中割球 $8$ 個、植物極側の大割球 $4$ 個、植物極にある小割球 $4$ 個からなる。その後の分裂は、細胞の系列ごとに次のように起こる。

細胞の系列	その後の分裂のしかた
中割球とその子孫	受精後 $220$ 分に分裂し、以後 $40$ 分ごとに分裂する
大割球とその子孫	受精後 $230$ 分に分裂し、以後 $50$ 分ごとに分裂する
小割球	受精後 $230$ 分に $1$ 回だけ分裂し、それぞれ大きい細胞 $1$ 個と小さい細胞 $1$ 個になる
小割球から生じた大きい細胞とその子孫	受精後 $290$ 分に分裂し、以後 $60$ 分ごとに分裂する
小割球から生じた小さい細胞	観察した時間内には分裂しない

同じ系列の細胞はすべて同時に分裂し、分裂は表の時刻に瞬時に完了して $1$ 個の細胞が $2$ 個になるものとする。また、観察した時間内に細胞の死は起こらないものとする。胚全体の細胞数が初めて $400$ 個以上になるのは受精後何分か。