海域の水と塩類の収支

海水の流入・流出と正味の蒸発がある海域で、水の質量と塩類の質量がそれぞれ一定に保たれる 2 つの式を立てて、流入量・流出量・蒸発量を求められる

前提

蒸発・淡水の混合・海氷による塩分の変化（高校地学海洋）

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質量パーセント濃度（中学理科水溶液）
塩分と塩類の量（高校地学海洋）
蒸発・淡水の混合・海氷による塩分の変化（高校地学海洋）

説明

地中海のように、狭い海峡で外洋とつながり、海面からの蒸発が降水や河川水より多い海域では、外洋の海水が流れ込み、塩分の高くなった海水が流れ出しています。このような海域の海水の量と塩分が長い間ほぼ変わらないとき、「水の出入り」と「塩類の出入り」がそれぞれつり合っています。この技能では、その 2 つのつり合いの式を立てて連立させ、流入量・流出量・蒸発量のうち未知のものを求めます。

なぜそうしてよいのか

海域の海水の質量が時間がたっても変わらないなら、一定時間に入ってくる質量と出ていく質量は等しいはずです。入ってくるのは流入する海水、出ていくのは流出する海水と蒸発する水です。降水や河川水の流入がある場合は、蒸発量からそれらを引いた「正味の蒸発量」 $E$ を出ていく水として扱います。流入量を $Q_{入}$ 、流出量を $Q_{出}$ （どちらも海水の質量）とすると、 $Q_{入} = Q_{出} + E$ が成り立ちます。

次に塩類に注目します。前の技能で見たように、蒸発で出ていくのは水だけで、塩類は出ていきません。降水や河川水も塩類をほとんど含みません。したがって塩類が出入りするのは、流入・流出する海水だけです。海域の塩分が一定に保たれているなら、塩類の質量も一定なので、入ってくる塩類と出ていく塩類は等しく、流入する海水の塩分を $S_{入}$ 、流出する海水の塩分を $S_{出}$ ［‰］とすると $Q_{入} \times \frac{S _{入}}{1000} = Q_{出} \times \frac{S _{出}}{1000}$ 、すなわち $Q_{入} S_{入} = Q_{出} S_{出}$ が成り立ちます。

この 2 つの式は、未知数が 2 つあれば連立方程式として解けます。蒸発がある分だけ流出する海水の塩分は高くなるので、 $S_{出} > S_{入}$ となり、 $Q_{出} < Q_{入}$ になります。

手順

海域に入るもの（流入する海水 $Q_{入}$ ）と出るもの（流出する海水 $Q_{出}$ 、正味の蒸発量 $E$ ）を書き出し、単位をそろえる。
水（海水）の質量のつり合いの式 $Q_{入} = Q_{出} + E$ を立てる。
塩類の質量のつり合いの式 $Q_{入} S_{入} = Q_{出} S_{出}$ を立てる（蒸発する水は塩類を含まないので、この式に $E$ は入らない）。
2 つの式を連立して、求める量を出す。例えば塩類の式から $Q_{出} = \frac{S _{入}}{S _{出}} Q_{入}$ とし、水の式に代入する。
問題の指定する単位と丸め方にそろえて答える。

例題

ある海域は、海峡を通して外洋とつながっている。外洋から塩分 36‰ の海水が流れ込み、海域からは塩分 38‰ の海水が流れ出している。この海域での正味の蒸発量（蒸発量から降水量と河川水の流入量を引いたもの）は 1 年あたり $3.0 \times 1 0^{15}$ kg である。海域の海水の質量と塩分は一定に保たれているとする。外洋から流れ込む海水の質量は 1 年あたり何 $\times 1 0^{15}$ kg か。整数で求めよ。

例題の解答

手順 1: 1 年あたりの流入量を $Q_{入}$ 、流出量を $Q_{出}$ （単位は $1 0^{15}$ kg）とする。正味の蒸発量は $E = 3.0$ 。

手順 2: 水の質量のつり合いから
$Q_{入} = Q_{出} + 3.0$

手順 3: 塩類の質量のつり合いから
$Q_{入} \times \frac{36}{1000} = Q_{出} \times \frac{38}{1000} すなわち 36 Q_{入} = 38 Q_{出}$

手順 4: 塩類の式より $Q_{出} = \frac{36}{38} Q_{入} = \frac{18}{19} Q_{入}$ 。これを水の式に代入して
$Q_{入} - \frac{18}{19} Q_{入} = 3.0 ⟹ \frac{1}{19} Q_{入} = 3.0 ⟹ Q_{入} = 57$
（このとき $Q_{出} = 54$ で、確かに $57 = 54 + 3$ ）

手順 5: 流入量は 1 年あたり $57 \times 1 0^{15}$ kg。

答え: $57$

よくある誤り

蒸発する水にも塩類が含まれるとして、塩類の式を $Q_{入} S_{入} = Q_{出} S_{出} + E S_{出}$ としてしまう誤り。蒸発で出ていくのは水だけなので、正しくは $Q_{入} S_{入} = Q_{出} S_{出}$ 。
水のつり合いで蒸発を入る側に置き、 $Q_{入} + E = Q_{出}$ としてしまう誤り。正味の蒸発は海域から水が出ていくことなので、正しくは $Q_{入} = Q_{出} + E$ （蒸発が多い海域では $Q_{出} < Q_{入}$ ）。
塩類の式で塩分を流入・流出で取り違え、 $36 Q_{出} = 38 Q_{入}$ としてしまう誤り。これでは $Q_{出} > Q_{入}$ となり水の式と矛盾する。正しくは塩分 36‰ の海水が流入量 $Q_{入}$ に対応し $36 Q_{入} = 38 Q_{出}$ 。
降水や河川水の流入を考えず、蒸発量そのものを $E$ に使ってしまう誤り。降水・河川水が与えられているときは、正しくは $E = (蒸発量) - (降水量) - (河川水の流入量)$ として正味の値を使う。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
外洋と狭い海峡でつながった、ある内海を考える。この内海には、海峡の表層から塩分 36 ‰ の海水が流入し、海峡の底層から塩分 38 ‰ の海水が流出している。また、内海の海面からは水が正味で蒸発しており（蒸発量から降水量と河川からの流入量を引いた量）、蒸発する水には塩類が含まれない。内海の海水の質量と、内海に含まれる塩類の質量は、どちらも時間がたっても変わらないものとする。1 年あたりに流入する海水の質量は、1 年あたりの正味の蒸発量の何倍か。整数で求めよ。ただし、塩分は海水 $1 kg$ に溶けている塩類の質量を g 単位で表した値とする。

この技能を使う問題

難易度 2（教科書の章末問題レベル）
海水 $1 kg$ に溶けている塩類の質量を g 単位で表した値を塩分（単位 ‰）とする。
乾燥した地域にある、外洋とつながったある湾では、次のことがわかっている。
- 外洋から湾内へ、塩分 $34.0$ ‰ の海水が $1$ 日あたり $9.0 \times 1 0^{11} kg$ 流れ込んでいる。
- 湾内では蒸発によって水だけが失われ、塩類は失われない。湾への降水や河川水の流入は無視できる。
- 湾内の海水は、塩分 $36.0$ ‰ になって外洋へ流れ出ている。
- 湾内の海水の質量と、湾内に含まれる塩類の質量は、時間がたっても変化しない。
この湾で $1$ 日あたりに蒸発する水の質量は何 kg か。有効数字 $2$ 桁で求めよ。

難易度 3（共通テストレベル）

海水 $1 kg$ に溶けている塩類の質量を g 単位で表した値を塩分（単位 ‰）とする。

ある半ば閉じた海（以下、内海）は、狭い海峡で外洋とつながっている。海峡では、表層を通って外洋から内海へ海水が流れこみ、深層を通って内海から外洋へ海水が流れ出している。観測の結果は次の表のとおりである。

項目	値
流れこむ海水の塩分	$36.0$ ‰
流れ出す海水の塩分	$38.4$ ‰
内海の海面の面積	$2.5 \times 1 0^{12} m^{2}$
内海の海面全体で平均した、1 年あたりの正味の蒸発量（蒸発量から降水量と河川から流れこむ淡水の量を差し引いたもの）を水の厚さで表した値	$1.0 m$

内海の海水の質量と、内海に溶けている塩類の質量は、どちらも年ごとに変化しないものとする。また、蒸発では水だけが失われ、降水と河川水には塩類は含まれず、塩類の沈殿は起こらないものとする。淡水の密度は $1.0 \times 1 0^{3} kg/m^{3}$ とする。

海峡を通って外洋から内海へ 1 年間に流れこむ海水の質量は何 $\times 1 0^{16} kg$ か。有効数字 2 桁で求めよ。