大地の変化の問題

難易度 4公立高校入試の難問・私立高校入試レベル中学理科大地の変化

ある安山岩 X は、大きな鉱物の結晶である斑晶と、そのまわりをうめる細かい粒やガラスの部分である石基からできている。岩石 X について、次のことがわかっている。

岩石 X 全体の体積のうち、斑晶が占める割合は $30%$ 、石基が占める割合は $70%$ である。
斑晶は長石と角閃石の $2$ 種類だけであり、斑晶の中での長石と角閃石の体積の比は $2 : 1$ である。
長石の密度は $2.6 g/c m^{3}$ 、角閃石の密度は $3.2 g/c m^{3}$ 、石基の密度は $2.6 g/c m^{3}$ である。

岩石 X のかたまりの質量をはかると $532 g$ であった。このかたまりにふくまれる角閃石の質量は何 g ですか。

この問題で使うもの

火成岩の鉱物の割合（説明と入口の問題）
密度の計算（説明と入口の問題）

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算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

与えられている割合は「質量」ではなく「体積」の割合です。まず体積を決めて、それぞれの部分の質量を密度から求めましょう。

ヒント 2

岩石 X の体積を $100 c m^{3}$ と仮定すると、石基・長石・角閃石の体積はそれぞれ何 $c m^{3}$ になるかを考え、（質量）＝（密度）×（体積）を使います。

ヒント 3

体積 $100 c m^{3}$ のとき、石基は $182 g$ 、長石は $52 g$ 、角閃石は $32 g$ で、合計 $266 g$ です。実際のかたまりはこの何倍かを考えましょう。

答えと解説

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解説を読む

体積の割合がわかっているので、まず岩石 X の体積が $100 c m^{3}$ であるとして、それぞれの部分の体積と質量を求める。

石基の体積は $100 \times 0.7 = 70 c m^{3}$ 、斑晶の体積は $100 \times 0.3 = 30 c m^{3}$ である。斑晶の中で長石と角閃石の体積の比は $2 : 1$ なので、
$長石 : 30 \times \frac{2}{3} = 20 c m^{3}, 角閃石 : 30 \times \frac{1}{3} = 10 c m^{3}$

質量は（密度）×（体積）で求められるので、
- 石基: $2.6 \times 70 = 182 g$
- 長石: $2.6 \times 20 = 52 g$
- 角閃石: $3.2 \times 10 = 32 g$

よって、体積 $100 c m^{3}$ の岩石 X の質量は $182 + 52 + 32 = 266 g$ で、そのうち角閃石は $32 g$ である。

岩石 X のどの部分も割合は同じなので、角閃石の質量は岩石全体の質量に比例する。実際のかたまりの質量は $532 g$ で、 $532 \div 266 = 2$ より、体積 $100 c m^{3}$ の場合の $2$ 倍（体積 $200 c m^{3}$ ）である。

したがって、角閃石の質量は
$32 \times 2 = 64 g$

（別解）角閃石の体積は岩石 X 全体の体積の $0.3 \times \frac{1}{3} = 0.1$ 倍である。全体の体積を $V c m^{3}$ とすると、 $2.6 \times 0.7 V + 2.6 \times 0.2 V + 3.2 \times 0.1 V = 532$ より $2.66 V = 532$ 、 $V = 200$ 。角閃石は $3.2 \times 20 = 64 g$ となる。

別解

岩石 X 全体の体積を $V c m^{3}$ とする。

斑晶の体積は $0.3 V$ 。そのうち長石は $\frac{2}{3}$ 、角閃石は $\frac{1}{3}$ なので、長石は $0.2 V$ 、角閃石は $0.1 V$ 。石基は $0.7 V$ 。

質量は質量 = 密度 × 体積で求める。
- 長石: $2.6 \times 0.2 V = 0.52 V$
- 角閃石: $3.2 \times 0.1 V = 0.32 V$
- 石基: $2.6 \times 0.7 V = 1.82 V$

合計は $0.52 V + 0.32 V + 1.82 V = 2.66 V$ 。これが $532 g$ なので、 $2.66 V = 532$ より $V = 200 c m^{3}$ 。

角閃石の体積は $0.1 \times 200 = 20 c m^{3}$ 、質量は $3.2 \times 20 = 64 g$ 。

検算: 長石 $2.6 \times 40 = 104$ g、石基 $2.6 \times 140 = 364$ g、角閃石 $64$ g で、合計 $104 + 364 + 64 = 532$ g となり、問題文と一致する。

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