電池の極板の質量変化

電子の数の関係と原子 1 個の質量の比を使い、電池の一方の極板の質量の減少からもう一方の極板の質量の増加を求めたり、2 枚の質量の差・合計の変化から各極板の質量変化を求められる

前提

電池と電子の移動（中学理科化学変化とイオン）

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電池と電子の移動（中学理科化学変化とイオン）

説明

電池が電流を流しているあいだ、一方の極板は原子がイオンになってとけ出すので軽くなり、もう一方の極板には金属が付着して重くなります。この技能を使うと、一方の極板の質量の減少から、もう一方の極板の質量の増加を計算で求められます。また、2 枚の極板の質量の差や合計がどれだけ変わったかという情報から、それぞれの極板の質量変化を逆算することもできます。ダニエル電池（亜鉛板と銅板）や、亜鉛板と銀イオンの水溶液を使った電池などの計算問題で使います。

なぜそうしてよいのか

極板の質量の変化は「とけ出した（または付着した）原子の数 × 原子 1 個の質量」で決まります。前提の技能で学んだように、電池の中では、一方の極板の原子が失った電子の数と、もう一方の極板でイオンが受け取った電子の数は必ず等しくなります。たとえばダニエル電池では、 $Zn$ 原子 1 個が $Z n^{2 +}$ になるときに電子を 2 個失い、その 2 個の電子を $C u^{2 +}$ 1 個が受け取って $Cu$ 原子 1 個になります。つまり、とけ出す $Zn$ 原子の数と付着する $Cu$ 原子の数は 1 : 1 です。

ここで、 $Zn$ 原子 1 個と $Cu$ 原子 1 個の質量の比が $65 : 64$ だとします。 $Zn$ が $N$ 個とけて $Cu$ が $N$ 個付着したとき、亜鉛板の減少量は $65 \times N \times (基準の質量)$ 、銅板の増加量は $64 \times N \times (基準の質量)$ なので、減少量と増加量の比は原子の数に関係なく $65 : 64$ になります。このように「原子の数の比 × 原子 1 個の質量の比」が、そのまま「質量変化の比」になります。

原子の数の比が 1 : 1 でない場合も同じ考え方です。亜鉛板と硝酸銀水溶液の電池では、 $Zn$ 1 個が失う電子 2 個を $A g^{+}$ 2 個が 1 個ずつ受け取るので、原子の数の比は $Zn : Ag = 1 : 2$ です。原子 1 個の質量の比が $65 : 108$ なら、質量変化の比は $(1 \times 65) : (2 \times 108) = 65 : 216$ になります。質量変化の比がわかれば、減少量を $65 x$ 、増加量を $216 x$ のように 1 つの文字で表せるので、差や合計の変化が与えられた問題も 1 次方程式で解けます。

手順

電子の数をそろえて、とけ出す原子の数と付着する原子の数の比を求める（例: $Zn$ 1 個に対して $Cu$ 1 個、 $Ag$ なら 2 個）。
原子 1 個の質量の比を、それぞれの原子の数にかけて、質量変化の比を求める（例: $(1 \times 65) : (1 \times 64) = 65 : 64$ ）。
一方の極板の質量変化がわかっているときは、比例式を立ててもう一方の質量変化を求める（例: 減少量 : 増加量 $= 65 : 64$ ）。
差や合計の変化が与えられているときは、減少量を $a x$ 、増加量を $b x$ （ $a : b$ は質量変化の比）とおき、「2 枚の差は $a x + b x$ だけ変わる」「2 枚の合計は $b x - a x$ だけ変わる」ことから方程式を立てて $x$ を求める。
どちらの極板が減り、どちらが増えるかを確かめ、問われている量（減少量・増加量・反応後の質量など）を答える。

例題

亜鉛板を硫酸亜鉛水溶液に、銅板を硫酸銅水溶液に入れ、2 つの水溶液をセロハンで仕切ってダニエル電池をつくり、導線で電子オルゴールにつないでしばらく電流を流した。このとき亜鉛板では亜鉛原子が亜鉛イオン $Z n^{2 +}$ になってとけ出し、銅板では銅イオン $C u^{2 +}$ が銅原子になって付着した。亜鉛板の質量は 1.30 g 減少していた。亜鉛原子 1 個と銅原子 1 個の質量の比を $65 : 64$ とし、亜鉛板でとけ出した亜鉛はすべて亜鉛イオンになり、銅板で受け取られた電子はすべて銅イオンが銅になるのに使われたものとする。銅板の質量は何 g 増加したか、求めよ。

例題の解答

手順 1（原子の数の比）: $Zn$ 原子 1 個は電子を 2 個失って $Z n^{2 +}$ になり、その電子 2 個を $C u^{2 +}$ 1 個が受け取って $Cu$ 原子 1 個になる。よって、とけ出した $Zn$ 原子の数と付着した $Cu$ 原子の数の比は $1 : 1$ 。

手順 2（質量変化の比）: 原子 1 個の質量の比が $65 : 64$ なので、亜鉛板の減少量 : 銅板の増加量 $= (1 \times 65) : (1 \times 64) = 65 : 64$ 。

手順 3（比例式）: 銅板の増加量を $y$ g とすると
$1.30 : y = 65 : 64$
$65 y = 1.30 \times 64 = 83.2$
$y = 1.28$

手順 5（確認）: 亜鉛板は減り、銅板は増える。銅板の増加量は 1.28 g。

答え: $1.28$

よくある誤り

原子の数の比を考えずに、原子 1 個の質量の比だけを使ってしまう誤り。亜鉛と銀の電池で $Zn$ が 0.65 g 減ったとき、 $0.65 \times \frac{108}{65} = 1.08$ g としてはいけない。正しくは $Zn$ 1 個につき $Ag$ 2 個が付着するので、 $0.65 \times \frac{2 \times 108}{65} = 2.16$ g。
比を逆にしてしまう誤り。ダニエル電池で亜鉛板が 1.30 g 減ったとき、 $1.30 \times \frac{65}{64}$ としてはいけない。正しくは減少量 : 増加量 $= 65 : 64$ なので、増加量は $1.30 \times \frac{64}{65} = 1.28$ g。
2 枚の極板の質量の差の変化を、減少量と増加量の差だと考えてしまう誤り。一方が $65 x$ 減り、もう一方が $64 x$ 増えると、2 枚の差は $65 x - 64 x = x$ ではなく $65 x + 64 x = 129 x$ だけ変わる（重い方が増えて軽い方が減る場合）。逆に 2 枚の合計の変化は $64 x - 65 x = - x$ （ $x$ だけ減少）になる。
とけ出す側と付着する側を取り違える誤り。イオンになりやすい金属（ダニエル電池では亜鉛）が電子を失ってとけ出し、質量が減る。銅板の質量が減ると考えてはいけない。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
硫酸亜鉛水溶液に亜鉛板を、硫酸銅水溶液に銅板を入れ、2 つの水溶液をセロハンで仕切ってダニエル電池をつくった。亜鉛板と銅板を導線でつなぎ、しばらく電流を流したところ、亜鉛板の質量が $1.30 g$ 減少した。
このとき、亜鉛板では亜鉛原子が電子を 2 個失って亜鉛イオン $Z n^{2 +}$ となってとけ出し、銅板では銅イオン $C u^{2 +}$ が電子を 2 個受け取って銅原子となって付着した。亜鉛板で減少した質量はすべてとけ出した亜鉛の質量、銅板で増加した質量はすべて付着した銅の質量であるとする。また、亜鉛原子 1 個と銅原子 1 個の質量の比を $65 : 64$ とする。
銅板の質量は何 g 増加したか。

電池の極板の質量変化

前提

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なぜそうしてよいのか

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例題

よくある誤り

入口の問題

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