動きながら聞くこだま

自動車などが一定の速さで音源に近づきながら音を出し、反射音を聞く場合に、（音が進んだ距離）+（自動車が進んだ距離）= 2 ×（音を出した地点からがけまでの距離）の関係を使って、がけまでの距離や反射音が聞こえるまでの時間を求められる

前提

音の反射（こだま）の時間（中学理科光と音）

この技能までの道筋（3 技能）

算数中学高校大学大学院

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速さと平均の速さ（中学理科運動とエネルギー）
音の伝わる速さ（中学理科光と音）
音の反射（こだま）の時間（中学理科光と音）

説明

自動車ががけに向かって一定の速さで走りながら警笛を鳴らすと、しばらくしてがけからはね返った音（反射音）が聞こえます。このとき自動車も前へ進んでいるので、止まって聞くこだまとは計算が少し変わります。この技能では、（音が進んだ距離）+（自動車が進んだ距離）= 2 ×（音を出した地点からがけまでの距離）の関係を使って、音を出した地点からがけまでの距離や、反射音が聞こえるまでの時間を求めます。

なぜそうしてよいのか

警笛を鳴らした地点を A、がけを C、反射音が聞こえた地点を B とし、A から C までの距離を $D$ とします。自動車はがけに向かって進むので、B は A と C の間にあります。音は A から出てがけ C まで $D$ 進み、はね返って C から B まで戻ってきます。よって音が進んだ距離は $D + (C から B までの距離)$ です。

一方、同じ時間のあいだに自動車は A から B まで進みました。A から B までの距離と、B から C までの距離を足すと $D$ になります。そこで、音が進んだ距離と自動車が進んだ距離を足すと $D + (CB) + (AB) = D + D = 2 D$ となります。つまり、音と自動車が進んだ距離の合計が、A からがけまでの距離の 2 倍になります。音と自動車が「両側から近づいて出会う」と考えると、2 つが合わせて往復分の距離 $2 D$ を進んだときに出会う（音が聞こえる）、と見ることもできます。

音の速さを $v$ m/s、自動車の速さを $u$ m/s、鳴らしてから反射音が聞こえるまでの時間を $t$ 秒とすると、音が進んだ距離は $v \times t$ 、自動車が進んだ距離は $u \times t$ なので $v \times t + u \times t = 2 D$ が成り立ちます。 $D$ を求めるなら $D = \frac{( v + u ) \times t}{2}$ 、 $t$ を求めるなら $t = \frac{2 D}{v + u}$ です。

手順

警笛を鳴らした地点 A、がけ C、反射音を聞いた地点 B の位置関係を確かめる（自動車ががけに近づくので B は A と C の間）。
鳴らしてから聞こえるまでの時間 $t$ の間に、音が進んだ距離 $v \times t$ を求める。
同じ時間 $t$ の間に、自動車が進んだ距離 $u \times t$ を求める。
関係式（音が進んだ距離）+（自動車が進んだ距離） $= 2 D$ を立て、 $D$ は A（鳴らした地点）からがけまでの距離であることに注意して解く。時間を求めるときは $t = \frac{2 D}{v + u}$ 。
聞いた地点からがけまでの距離を聞かれたときは、 $D$ から自動車が進んだ距離 $u \times t$ を引く。

例題

一定の速さ 20 m/s でがけに向かってまっすぐ走っている自動車が、警笛を鳴らした。自動車に乗っている人には、警笛を鳴らしてから 2.0 秒後に、がけではね返った警笛の音が聞こえた。音の速さを 340 m/s とすると、警笛を鳴らした地点からがけまでの距離は何 m か求めよ。

例題の解答

手順 1: 鳴らした地点を A、がけを C、音が聞こえた地点を B とする。自動車はがけに近づいているので、B は A と C の間にある。

手順 2: 2.0 秒間に音が進んだ距離は $340 \times 2.0 = 680$ m。

手順 3: 2.0 秒間に自動車が進んだ距離は $20 \times 2.0 = 40$ m。

手順 4: 鳴らした地点からがけまでの距離を $D$ m とすると、 $680 + 40 = 2 D$ より $D = 720 \div 2 = 360$ m。

（確かめ: 聞こえた地点 B からがけまでは $360 - 40 = 320$ m。音は A→C の 360 m と C→B の 320 m で合計 680 m 進んでおり、手順 2 と合う。）

答え: $360$

よくある誤り

自動車の動きを考えず、止まっているときと同じく音の距離だけで $D$ を求めてしまう誤り。正しくは自動車の進んだ距離も足して、 $2 D = 340 \times 2.0 + 20 \times 2.0 = 720$ より $D = 360$ m（ $680 \div 2 = 340$ m ではない）。
音の距離から自動車の距離を引いてしまう誤り。正しくは、がけに近づいているときは足す。 $680 - 40 = 640$ から $D = 320$ m とするのは誤りで、 $680 + 40 = 720$ から $D = 360$ m。
求めた $D$ を、音が聞こえた地点からがけまでの距離と取りちがえる誤り。正しくは $D$ は警笛を鳴らした地点からの距離で、聞こえた地点からがけまでは $D - u \times t = 360 - 40 = 320$ m。
時間を求めるときに $t = \frac{2 D}{v}$ としてしまう誤り。正しくは自動車も近づいているので $t = \frac{2 D}{v + u}$ で、 $D = 360$ m なら $\frac{720}{340 + 20} = 2.0$ 秒。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
まっすぐな道路を、正面にある切り立ったがけに向かって一定の速さ $20 m/s$ で走っている自動車が、ある地点で短く警笛を鳴らしました。自動車はそのまま同じ速さでがけに向かって走り続け、警笛を鳴らしてから $4$ 秒後に、がけではね返ってきた警笛の音を自動車の中で聞きました。音が空気中を伝わる速さを $340 m/s$ とします。警笛を鳴らした地点からがけまでの距離は何 m ですか。ただし、音はがけに垂直に当たってまっすぐはね返るものとし、反射音を聞くまでに自動車はがけに着かないものとします。
自動車 $20 m/s$ がけ警笛を鳴らした地点

この技能を使う問題

難易度 3（公立高校入試の標準レベル）
まっすぐな道路の先に、道路に垂直に切り立ったがけがある。自動車が、この道路をがけに向かって一定の速さ $20$ m/s で一直線に走っている。運転手は、ある地点 P で短く警笛を鳴らし、警笛の音ががけではね返ってきた音を、警笛を鳴らしてから $3.0$ 秒後に聞いた。自動車はその間も同じ速さで走り続けていた。
音が空気中を伝わる速さを $340$ m/s とするとき、地点 P からがけまでの距離は何 m ですか。ただし、風はなく、警笛を鳴らす位置と音を聞く位置は自動車の同じ場所とし、音はがけで一度だけはね返るものとする。
$P$ $20$ m/s自動車がけ
図は模式図で、距離は正確ではありません