化学変化とイオンの問題

難易度 4公立高校入試の難問・私立高校入試レベル中学理科化学変化とイオン

ある濃度のうすい塩酸 A と、ある濃度のうすい水酸化ナトリウム水溶液 B がある。A $10 cm^{3}$ に B を少しずつ加えていくと、B を $15 cm^{3}$ 加えたときにちょうど中和した。

次に、A $40 cm^{3}$ をビーカーにとり、B を少しずつ加えていった。B をある体積だけ加えたとき、ビーカー内の水溶液中にあるイオンの総数は、その中にあるナトリウムイオンの数のちょうど $2.4$ 倍であった。このとき加えた B の体積は何 $cm^{3}$ ですか。

ただし、塩酸中の塩化水素と水酸化ナトリウム水溶液中の水酸化ナトリウムはすべて電離しており、中和で生じた水はほとんど電離せず、生じた塩化ナトリウムは水溶液中ですべて電離しているものとする。また、水溶液中のイオンは、水素イオン・塩化物イオン・ナトリウムイオン・水酸化物イオンだけを考える。

この問題で使うもの

酸・アルカリと中和・指示薬（説明と入口の問題）
ちょうど中和する体積（説明と入口の問題）
中和とイオンの数の変化（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（5 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

A $10 cm^{3}$ 中の水素イオンの数を $a$ 個として、A・B の $1 cm^{3}$ あたりのイオンの数を $a$ で表しましょう。A $40 cm^{3}$ をちょうど中和する B の体積も求めておきます。

ヒント 2

ナトリウムイオンは中和で減らないので、加えた B の体積に比例します。イオンの総数は、中和が終わるまでは一定で、中和後は増えていきます。ちょうど中和する前と後で場合を分けましょう。

ヒント 3

A $40 cm^{3}$ をちょうど中和する B は $60 cm^{3}$ で、それまでのイオンの総数は $8 a$ 個です。中和後は、イオンの総数がナトリウムイオンの数の何倍になるかを調べてみましょう。

答えと解説

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50

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解説を読む

イオンの数を文字で表す

塩酸中では $HCl ⟶ H^{+} + Cl^{-}$ 、水酸化ナトリウム水溶液中では $NaOH ⟶ Na^{+} + OH^{-}$ のように電離している。中和では $H^{+} + OH^{-} ⟶ H_{2} O$ の反応が起こり、 $H^{+}$ と $OH^{-}$ は同じ数ずつ結びついて水になる。

A $10 cm^{3}$ 中の $H^{+}$ の数を $a$ 個とする（ $Cl^{-}$ も $a$ 個）。A $10 cm^{3}$ と B $15 cm^{3}$ がちょうど中和するので、B $15 cm^{3}$ 中の $OH^{-}$ は $a$ 個（ $Na^{+}$ も $a$ 個）である。よって B $1 cm^{3}$ 中には $Na^{+}$ と $OH^{-}$ が $\frac{a}{15}$ 個ずつある。

A $40 cm^{3}$ 中には $H^{+}$ と $Cl^{-}$ が $4 a$ 個ずつあり、これをちょうど中和する B の体積は $15 \times 4 = 60 cm^{3}$ である。

加えた B の体積を $v cm^{3}$ とすると、 $Na^{+}$ は中和に関係しないので、その数は $\frac{a}{15} v$ 個である。

(1) $0 < v ≦ 60$ のとき

加えた $OH^{-}$ はすべて $H^{+}$ と結びついて水になる。 $H^{+}$ が減った数だけ $Na^{+}$ が増えるので、イオンの総数は $8 a$ 個のまま変わらない。条件より
$8 a = 2.4 \times \frac{a}{15} v$
$v = \frac{8 \times 15}{2.4} = 50$
これは $0 < v ≦ 60$ を満たす。

(2) $v > 60$ のとき

$H^{+}$ はなく、 $Cl^{-}$ が $4 a$ 個、 $Na^{+}$ が $\frac{a}{15} v$ 個、 $OH^{-}$ が $\frac{a}{15} (v - 60) = \frac{a}{15} v - 4 a$ 個ある。イオンの総数は
$4 a + \frac{a}{15} v + \frac{a}{15} v - 4 a = 2 \times \frac{a}{15} v$
で、つねにナトリウムイオンの数のちょうど $2$ 倍になるから、 $2.4$ 倍にはならない。

以上より、加えた B の体積は $50 cm^{3}$ である。

（確かめ: $v = 50$ のとき、 $Na^{+}$ は $\frac{50}{15} a = \frac{10}{3} a$ 個、総数は $8 a$ 個で、 $8 a \div \frac{10}{3} a = 2.4$ 。）

別解

B $1 cm^{3}$ に含まれる水酸化ナトリウムの量（ナトリウムイオン・水酸化物イオンの数）を $u$ とする。
A $10 cm^{3}$ は B $15 cm^{3}$ とちょうど中和するので、A $10 cm^{3}$ 中の水素イオン（塩化物イオンも同数）は $15 u$ 。A $40 cm^{3}$ では 4 倍の $60 u$ である。
これに B を $V cm^{3}$ 加えたとする。加えたナトリウムイオンは $V u$ 、水酸化物イオンも $V u$ 。

(1) $V < 60$ （中和の途中）のとき: 水酸化物イオンは水素イオンと反応して水になるので、水素イオン $(60 - V) u$ 、塩化物イオン $60 u$ 、ナトリウムイオン $V u$ 、水酸化物イオン $0$ 。イオンの総数は
$(60 - V) u + 60 u + V u = 120 u .$
条件より $120 u = 2.4 \times V u$ なので $V = 50$ 。これは $V < 60$ を満たす。

(2) $V \geq 60$ （ちょうど中和したあと）のとき: 塩化物イオン $60 u$ 、ナトリウムイオン $V u$ 、水酸化物イオン $(V - 60) u$ 、水素イオン $0$ 。総数は $2 V u$ で、ナトリウムイオンの 2 倍。2.4 倍にはならないので不適。

検算: $V = 50$ のとき、水素イオン $10 u$ 、塩化物イオン $60 u$ 、ナトリウムイオン $50 u$ で総数 $120 u$ 、 $120 \div 50 = 2.4$ 倍。
答え: $50 cm^{3}$ 。

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