光と音の問題

難易度 3公立高校入試の標準レベル中学理科光と音

水平な床の上に、たがいに平行に向かい合った 2 つの鉛直なかべ A, B があり、かべ A とかべ B の間の距離は $300$ cm である。

かべ A には、平らな鏡が、鏡の面がかべ A の面と重なるように取り付けてある。鏡の下の端は床から $130$ cm、上の端は床から $160$ cm の高さにあり、鏡の左右の幅は十分に広い。かべ B には、縦長のポスターがはってあり、ポスターの下の端は床から $60$ cm、上の端は床から $200$ cm の高さにある。

太郎さんは、2 つのかべに垂直な一直線上に立ち、鏡のほうを向いて、鏡に映ったポスターを見る。太郎さんの目の高さは床から $150$ cm である。太郎さんは、この直線上を前後に動いて、目と鏡の距離を変えることができる（目の高さは変わらない）。

ポスターの下の端から上の端までの全体が鏡に映って見えるのは、目と鏡の距離が何 cm 以下のときですか。ただし、目は 1 つの点とみなし、太郎さんの頭やからだで光がさえぎられることは考えないものとする。

かべ Aかべ B鏡ポスター目300 cm130 cm160 cm60 cm200 cm150 cm

横から見た図（高さは床からの高さ。目の位置は一例）

この問題で使うもの

鏡に映る像の位置と見える範囲（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（3 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

ポスターの像は、鏡の面について対称な位置（鏡のおく $300$ cm）にできる。目と像を結ぶ直線が鏡を通れば、その点は見える。

ヒント 2

目と鏡の距離を $d$ cm とすると、目から像までの水平距離は $(d + 300)$ cm。目と像を結ぶ直線が鏡の面を通る高さは、相似な三角形の比 $d : (d + 300)$ で求められる。

ヒント 3

上の端について $\frac{50 d}{d + 300} ≦ 10$ 、下の端について $\frac{90 d}{d + 300} ≦ 20$ が成り立てばよい。それぞれを解いて、両方を満たす範囲を考える。

答えと解説

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75

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解説を読む

平らな鏡では、ポスターの像は、鏡の面について対称な位置、つまり鏡のおくの $300$ cm の位置に、同じ高さで見える。ポスターのある点が鏡に映って見えるのは、目とその点の像を結ぶ直線が鏡（高さ $130$ cm 〜 $160$ cm の部分）を通るときである。

目と鏡の距離を $d$ cm とする。目から像までの水平距離は $(d + 300)$ cm である。

ポスターの上の端について

上の端の像の高さは $200$ cm で、目の高さ $150$ cm より $50$ cm 高い。目と像を結ぶ直線が鏡の面を通る点は、目からの水平距離が $d$ cm なので、相似な直角三角形の辺の比より、目の高さより
$50 \times \frac{d}{d + 300} cm$
だけ高い。これが鏡の上の端（目より $160 - 150 = 10$ cm 高い）以下であればよいので
$\frac{50 d}{d + 300} ≦ 10$
$50 d ≦ 10 d + 3000$
$d ≦ 75$

ポスターの下の端について

下の端の像の高さは $60$ cm で、目の高さより $90$ cm 低い。同じように考えると、直線が鏡の面を通る点は目の高さより $\frac{90 d}{d + 300}$ cm 低い。これが鏡の下の端（目より $150 - 130 = 20$ cm 低い）以内であればよいので
$\frac{90 d}{d + 300} ≦ 20$
$90 d ≦ 20 d + 6000$
$d ≦ \frac{600}{7} (= 85.7 \dots)$

まとめ

両方の条件を同時に満たすのは $d ≦ 75$ のときである。確かめると、 $d = 75$ のとき、上の端を見る直線は鏡の面を目より $50 \times \frac{75}{375} = 10$ cm 高い点（鏡のちょうど上の端）で通り、下の端を見る直線は目より $90 \times \frac{75}{375} = 18$ cm 低い点（高さ $132$ cm、鏡の中）を通る。

よって、答えは $75$ cm 以下である。

別解

かべ A の鏡の面を基準に、ポスターの鏡にうつる像を考える。像は鏡の面について対称な位置にでき、鏡の向こう側 $300$ cm のところで、高さは $60$ cm から $200$ cm である。

目と鏡の距離を $d$ cm とする。目の高さは $150$ cm である。目から像の点を見る直線が鏡の面を通る高さが、 $130$ cm 以上 $160$ cm 以下であれば、その点は鏡に映って見える。

目から像までの水平距離は $d + 300$ cm、鏡までは $d$ cm である。したがって、像の高さが $h$ cm の点を見る直線が鏡の面を通る高さは、 $150 + (h - 150) \times \frac{d}{d + 300}$ cm となる。

(1) ポスターの上の端（ $h = 200$ ）
鏡の面を通る高さは $150 + 50 \times \frac{d}{d + 300}$ で、これが $160$ 以下になればよい。
$50 \times \frac{d}{d + 300} \leq 10$ より $50 d \leq 10 d + 3000$ 、よって $d \leq 75$ 。

(2) ポスターの下の端（ $h = 60$ ）
鏡の面を通る高さは $150 - 90 \times \frac{d}{d + 300}$ で、これが $130$ 以上になればよい。
$90 \times \frac{d}{d + 300} \leq 20$ より $90 d \leq 20 d + 6000$ 、よって $d \leq \frac{600}{7} \approx 85.7$ 。

両方を満たすのは $d \leq 75$ である。ポスターの上下の端が見えれば、その間の点は直線の高さが端の間にあるので見える。

検算： $d = 75$ のとき、上の端を見る直線は $150 + 50 \times \frac{75}{375} = 160$ cm で鏡の上端にちょうど当たる。下の端を見る直線は $150 - 90 \times \frac{75}{375} = 132$ cm で、鏡の中に入っている。

答え： $75$ cm

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