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鏡に映る像の位置と見える範囲

平面鏡に映る像が鏡について物体と対称な位置にできることを使って、像の位置や像までの距離を求め、鏡の大きさ・位置から鏡に映って見える範囲（全身を映すのに必要な鏡の長さは身長の半分になることなど）を求められる

前提

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  1. 光の反射・屈折・全反射の用語 （中学理科 物理分野の用語と知識）
  2. 光の反射の法則 （中学理科 光と音）

説明

平面鏡に映る物体の像は、鏡の面について物体と対称な位置にできて見えます。つまり、鏡の向こう側で、鏡からの距離が物体と同じ位置です。このことを使うと、像の位置や、自分から像までの距離を求めることができます。さらに、目と像を直線で結ぶ作図をすると、鏡のどの部分で反射した光でその点が見えるのかがわかります。これで「全身を映すには鏡の縦の長さがどれだけ必要か」「鏡のどこからどこまでに何が映るか」といった、見える範囲を求めることができます。

なぜそうしてよいのか

鏡の面を直線で表し、物体の 1 点 A から出た光が鏡の上の点 P で反射して目 E に入る場合を考えます。A から鏡の面に垂直な線を引き、鏡と交わる点を Q とします。入射角と反射角は等しいので、それぞれを 90° から引いた「光と鏡の面のなす角」も等しくなります。つまり、入射光 AP と鏡の面のなす角 と、反射光 PE と鏡の面のなす角（P の、Q とは反対側の鏡の面との角）は等しくなります。次に、反射光 EP を P の先へまっすぐ延長し、鏡の向こう側へのばします。直線 AQ も鏡の向こう側へのばし、2 本の延長線が交わる点を A' とします。対頂角は等しいので、 は反射光と鏡の面のなす角に等しく、したがって です。

ここで、三角形 APQ と三角形 A'PQ を比べます。辺 PQ は共通です。 で、 です。1 辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、2 つの三角形は合同です。よって となり、A' は「A から鏡に垂直な線を引き、鏡の向こう側に鏡からの距離が A と等しくなるようにとった点」、つまり鏡について A と対称な点です。この位置は反射点 P がどこでも同じになります（P が Q と重なるときは、光は来た道をそのまま戻るので、やはりこの直線上の A' の方向から来たように見えます）。目は、光が来た向きをまっすぐ延長した先に物体があると感じます。A から出て鏡で反射した光はどれも A' から出たように目に入るので、A は鏡の向こうの A' にあるように見えます。これが像です。

逆に考えると、目 E から像 A' までまっすぐ線を引き、その線が鏡と交わる点 P が、A から出た光が実際に反射する点です。線分 が鏡と交わらなければ、A は鏡に映って見えません。

この考え方で全身を映す場合を考えます。床に垂直に立てた鏡の前に人がまっすぐ立ち、目の高さを 、頭の頂上の高さを （身長）とします。像は鏡について対称なので、鏡は目と像のちょうど真ん中にあります。目と像の足先（高さ 0）を結ぶ線は、目と像のちょうど真ん中の位置で鏡の面を通るので、その高さは両端の高さの平均 です。同じように、目と像の頭の頂上（高さ ）を結ぶ線は、高さ で鏡を通ります。必要な鏡の長さはその差 で、身長のちょうど半分になります。鏡までの距離はこの計算に出てこないので、鏡に近づいても遠ざかっても必要な長さは変わりません。

手順

  1. 像の位置を決める: 物体の各点から鏡の面に垂直な線を引き、鏡の向こう側に、鏡からの距離が物体と等しい点をとる（鏡から物体まで なら、像も鏡の向こう の位置）。

  2. 距離を求めるときは、像が鏡の向こう側にあることに注意する: 自分から自分の像までの距離は、自分と鏡の距離の 2 倍。

  3. 見える範囲を調べるときは、目と、見たい点の像を直線で結ぶ。その直線と鏡の面が交わる点が、光が反射する点になる。

  4. その交点が実際に鏡の上にあれば見え、鏡からはずれていれば見えない。全身や物体の両端について交点を求め、鏡に必要な範囲を決める。

  5. 鏡は目と像の真ん中にあるので、交点の高さは「目の高さと見たい点の高さの平均」になる。全身なら、必要な鏡の長さは身長の になる。

例題

身長 160 cm の人が、床に垂直に立てた平面鏡の正面 2 m の位置に、鏡の面と向かい合ってまっすぐ立っている。この人の目の高さは床から 150 cm である。この人が自分の頭の頂上から足先までの全身を鏡で見るためには、鏡の縦の長さは少なくとも何 cm 必要か求めよ。

例題の解答

手順 1（像の位置）: 像は鏡の向こう側 2 m の位置に、同じ大きさ（頭の頂上の高さ 160 cm、足先の高さ 0 cm）でできる。目と像の間は 4 m で、鏡はそのちょうど真ん中にある。

手順 3・5（目と像を直線で結ぶ）: 目（高さ 150 cm）と像の足先（高さ 0 cm）を結ぶ直線は、真ん中にある鏡の面を、高さ cm で通る。目と像の頭の頂上（高さ 160 cm）を結ぶ直線は、鏡の面を高さ cm で通る。

手順 4（必要な範囲）: 足先は鏡の高さ 75 cm の点で、頭の頂上は高さ 155 cm の点で反射した光で見えるので、鏡は少なくとも床から 75 cm から 155 cm までの部分があればよい。必要な長さは cm。これは身長 160 cm の半分になっている（鏡までの距離 2 m には関係しない）。

答え:

よくある誤り

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

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