ゲーム理論の問題

石の山が $3$ つあり、山 A, B, C の石の個数はそれぞれ $6$ 個、$9$ 個、$13$ 個である。2 人のプレイヤーが交互に、どれか $1$ つの山を選び、その山から $1$ 個以上の好きな個数の石を取り除く。最後の石を取ったプレイヤーの勝ちとする（通常のニム）。

この状態から先手が必ず勝てるような最初の手は、ただ $1$ 通りである。その手を打った直後の山 A, B, C の石の個数を、組 $(a,b,c)$ の形でこの順に答えよ。

石の山が $3$ つあり、山 A には $3$ 個、山 B には $6$ 個、山 C には $10$ 個の石がある。2 人のプレイヤーが交互に、どれか $1$ つの山を選び、その山から $1$ 個以上の好きな個数の石を取り除く（山にある個数まで取れる）。最後の石を取ったプレイヤーの勝ちとする（動かせなくなったプレイヤーの負け）。

この局面で先手が必勝となる最初の手はただ $1$ 通りである。その手を打った直後の山 A、山 B、山 C の石の個数を、この順に組で答えよ。

石の山が $3$ つあり、石の個数はそれぞれ $5$ 個、$7$ 個、$9$ 個である。2 人のプレイヤーが交互に、どれか $1$ つの山を選び、その山から石をちょうど $1$ 個、$2$ 個、$4$ 個のいずれかの個数だけ取り除く（山にある石の個数より多くは取れない）。動かせなくなったプレイヤーの負けとする。

この局面で先手が打てる手のうち、勝ちにつながる手（相手にグランディ数 $0$ の局面を渡す手）は何通りあるか。ただし、手は「どの山から何個取るか」の組で区別する。

石の山が $3$ つあり、石の個数はそれぞれ $4$ 個、$8$ 個、$9$ 個である。2 人のプレイヤーが交互に次の操作を行う。

• どれか $1$ つの山を選び、その山から石をちょうど $1$ 個、$2$ 個、$4$ 個のいずれかの個数だけ取り除く（山にある石の個数より多くは取れない）。

操作ができなくなったプレイヤーの負けとする。先手の最初の手のうち、手のあとの局面全体のグランディ数が $0$ になるもの（勝ちにつながる手）は何通りあるか。ただし、選ぶ山または取る個数が異なる手は、異なる手として数える。

石の山が $4$ つあり、石の個数はそれぞれ $4$ 個、$6$ 個、$8$ 個、$9$ 個である。2 人のプレイヤーが交互に、どれか 1 つの山を選び、その山から石をちょうど $2$ 個または $3$ 個取り除く（山にある石の個数より多くは取れない）。動かせなくなったプレイヤーの負けとする。

この局面から先手が打てる手のうち、移った先の局面のグランディ数が $0$ になる手（勝ちにつながる手）は何通りあるか求めよ。ただし、手は「どの山から何個取るか」の組で区別する。