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とり出して水を加える操作のくり返し

水溶液の一部をとり出し同じ量の水を加える操作で、残る溶質の割合が毎回同じ倍率になることを使い、くり返したあとの濃度を求められる

前提

• 水溶液をうすめる・こくする （中学理科 水溶液）

説明

なぜそうしてよいのか

手順

1. 溶液の質量 $A$ g と、1 回にとり出す質量 $a$ g（＝加える水の質量）を確認する

2. 1 回の操作で溶質（濃度）が何倍になるか、倍率 $\frac{A-a}{A}$ を求める

3. もとの濃度に、操作の回数だけ倍率をかける

4. 必要なら 1 回目の結果を「うすめる」の考え方で計算して、倍率が正しいか確かめる

例題

よくある誤り

• 倍率を「とり出す割合」にしてしまう誤り（例：$16\times \frac{50}{200}\times \frac{50}{200}=1$ %）。正しくは残る割合 $\frac{200-50}{200}=\frac{3}{4}$ をかけて $16\times \frac{3}{4}\times \frac{3}{4}=9$ (%)

• 毎回同じ量ずつ濃度が下がると考えてしまう誤り（例：1 回目で $16\to 12$ % と 4% 下がったので 2 回目は $12-4=8$ %）。正しくは毎回同じ「倍率」で下がるので $12\times \frac{3}{4}=9$ (%)

• 2 回目にとり出す溶質を、はじめの濃度で計算してしまう誤り（例：2 回目に $50\times \frac{16}{100}=8$ g の食塩をとり出すとして $24-8=16$ g、8%）。正しくは 2 回目のときの濃度は 12% なので、とり出す食塩は $50\times \frac{12}{100}=6$ g、残りは 18 g で 9%

• とり出したあとの溶液の質量で割ってしまい、加えた水を忘れる誤り（例：1 回目で $\frac{24}{150}\times 100=16$ %のまま）。正しくは水 50 g を加えて溶液は 200 g にもどるので $\frac{24}{200}\times 100=12$ (%)

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

• 難易度 1（教科書の例題レベル）

  質量パーセント濃度が $16\%$ の食塩水が $200\text{g}$ あります。この食塩水から $50\text{g}$ をとり出し、かわりに水を $50\text{g}$ 加えてよくかき混ぜます。この操作をもう 1 回、合わせて 2 回行いました。できた食塩水の質量パーセント濃度は何 % ですか。

この技能を使う問題

• 難易度 3（公立高校入試の標準レベル）

  質量パーセント濃度 $20\%$ の食塩水が $200\mathrm{g}$ ある。この食塩水から $50\mathrm{g}$ をとり出し、かわりに水 $50\mathrm{g}$ を加えてよく混ぜる。この操作をもう一度くり返した（合計 2 回行った）。できた食塩水の質量パーセント濃度は何 % ですか。ただし、食塩水はよく混ざっていて、とり出す食塩水の濃度は残りの食塩水と同じであり、水を加えても食塩や水の質量は変わらないものとする。

• 難易度 4（公立高校入試の難問・私立高校入試レベル）

  ビーカーに質量パーセント濃度 10 % の食塩水が 400 g 入っている。次の操作を 2 回くり返した。

  操作: ビーカーの食塩水をよくかき混ぜてから $x$ g 取り出して捨て、そのあとビーカーに水を $x$ g 加えてよくかき混ぜる。

  2 回の操作のあと、ビーカーの食塩水の質量パーセント濃度は 6.4 % になった。$x$ は何 g ですか。ただし、$x$ は 0 より大きく 400 より小さい数とし、操作の途中で水の蒸発などによって質量が変わることはないものとする。