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水溶液の問題

難易度 3公立高校入試の標準レベル中学理科水溶液

質量パーセント濃度 $20 %$ の食塩水が $200 g$ ある。この食塩水から $50 g$ をとり出し、かわりに水 $50 g$ を加えてよく混ぜる。この操作をもう一度くり返した（合計 2 回行った）。できた食塩水の質量パーセント濃度は何 % ですか。ただし、食塩水はよく混ざっていて、とり出す食塩水の濃度は残りの食塩水と同じであり、水を加えても食塩や水の質量は変わらないものとする。

この問題で使うもの

質量パーセント濃度（説明と入口の問題）
とり出して水を加える操作のくり返し（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（3 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

操作のたびに「食塩の質量」がどう変わるかを追いましょう。水を加えても食塩は増えません。

ヒント 2

とり出したあとの食塩水 $150 g$ の濃度は、とり出す前と同じです。その中の食塩の質量を求め、水を加えたあとの $200 g$ で割りましょう。

ヒント 3

1 回目の操作のあと、食塩は $30 g$ 、濃度は $15 %$ になります。2 回目も同じように考えましょう。

答えと解説

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11.25

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解説を読む

溶質の質量 $=$ 溶液の質量 $\times \frac{質量パーセント濃度}{100}$ を使い、各操作のあとの食塩の質量を追っていく。水を加えても食塩の質量は変わらず、とり出した分だけ食塩が減る。

1 回目の操作

$50 g$ をとり出すと、残りは $150 g$ で、濃度は $20 %$ のままなので、ふくまれる食塩は
$150 \times \frac{20}{100} = 30 (g)$
水 $50 g$ を加えると食塩水は $200 g$ にもどり、濃度は
$\frac{30}{200} \times 100 = 15 (%)$

2 回目の操作

$15 %$ の食塩水から $50 g$ をとり出すと、残り $150 g$ にふくまれる食塩は
$150 \times \frac{15}{100} = 22.5 (g)$
水 $50 g$ を加えると食塩水は $200 g$ になり、濃度は
$\frac{22.5}{200} \times 100 = 11.25 (%)$

別解

食塩水の質量は、 $50 g$ をとり出して水 $50 g$ を加えるので、操作のたびに $200 g$ にもどる。

1 回目: とり出す前の食塩は $200 \times 0.20 = 40 g$ 。 $50 g$ の食塩水にふくまれる食塩は $50 \times 0.20 = 10 g$ 。残る食塩は $40 - 10 = 30 g$ 。水を加えて $200 g$ になるので、濃度は $30 \div 200 \times 100 = 15 %$ 。

2 回目: $50 g$ の食塩水にふくまれる食塩は $50 \times 0.15 = 7.5 g$ 。残る食塩は $30 - 7.5 = 22.5 g$ 。濃度は $22.5 \div 200 \times 100 = 11.25 %$ 。

検算: 1 回の操作で食塩は $\frac{150}{200} = \frac{3}{4}$ 倍になるので、 $20 \times \frac{3}{4} \times \frac{3}{4} = 20 \times \frac{9}{16} = 11.25$ 。

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