光と音の問題

難易度 3公立高校入試の標準レベル中学理科光と音

光学台の上に、光源（高さ 6 cm の矢印の形をした物体）、凸レンズ、スクリーンをこの順に一直線上に並べた。光源とスクリーンは、どちらも凸レンズの軸（光軸）に垂直に立てた。光源の下の端は光軸上にある。

光源と凸レンズの距離を調節したところ、凸レンズから 15 cm の位置にあるスクリーンに、はっきりした像がうつった。このとき、スクリーンにうつった像は上下が逆向きで、その高さは 3 cm であった。

この凸レンズの焦点距離は何 cm ですか。

光源（6 cm）凸レンズスクリーン像（3 cm）15 cm

図は正確とは限りません

この問題で使うもの

凸レンズの像の大きさと焦点距離の計算（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（3 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

レンズの中心を通る光は直進します。物体と像でできる 2 つの直角三角形が相似であることを使いましょう。

ヒント 2

物体と像の高さの比が 2 : 1 なので、光源とレンズの距離と、レンズとスクリーンの距離の比も 2 : 1 です。

ヒント 3

光軸に平行に進んだ光は焦点を通ります。レンズと焦点の距離と、焦点とスクリーンの距離の比を、高さの比 6 : 3 から考えましょう。

答えと解説

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10

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解説を読む

凸レンズの中心を O、光源の矢印の先を P、スクリーン上の像の先を P' とします。また、光源の下の端（光軸上）を A、像の下の端（光軸上、スクリーン上）を A' とします。

光源と凸レンズの距離を求める

凸レンズの中心を通る光は直進するので、P、O、P' は一直線上にあります。三角形 PAO と三角形 P'A'O は、 $∠ PAO = ∠ P^{'} A^{'} O = 9 0^{\circ}$ 、 $∠ POA = ∠ P^{'} O A^{'}$ （対頂角）なので相似です。相似比は物体の高さと像の高さの比で
$PA : P^{'} A^{'} = 6 : 3 = 2 : 1$
よって
$AO : O A^{'} = 2 : 1$
となり、 $O A^{'} = 15$ cm なので、光源と凸レンズの距離は
$AO = 15 \times 2 = 30 (cm)$
です。

焦点距離を求める

光軸に平行に進んで凸レンズに入った光は、屈折してスクリーン側の焦点 F を通り、P' に届きます。P から光軸に平行に進んだ光がレンズに当たる点を Q とすると、OQ = PA = 6 cm です。焦点距離を $f$ cm とすると、三角形 QOF と三角形 P'A'F は相似（直角と対頂角が等しい）なので
$OF : F A^{'} = QO : P^{'} A^{'} = 6 : 3 = 2 : 1$
です。 $OF + F A^{'} = O A^{'} = 15$ cm なので
$OF = 15 \times \frac{2}{2 + 1} = 10 (cm)$
よって、焦点距離は 10 cm です。

（確かめ）焦点距離 10 cm の凸レンズでは、物体を焦点距離の 3 倍の 30 cm の位置に置くと、反対側の 15 cm の位置に、大きさが半分の倒立の実像ができます。

別解

像の高さは物体の $3 \div 6 = \frac{1}{2}$ 倍。凸レンズでは、像までの距離と物体までの距離の比が像の大きさの比に等しいので、光源とレンズの距離は $15 \times 2 = 30 cm$ 。中学の範囲では、物体を焦点距離の 2 倍の位置に置くと、レンズの反対側の焦点距離の 2 倍の位置に、物体と同じ大きさの倒立の実像ができる。ここでは、レンズから像までの距離 $15 cm$ と物体までの距離 $30 cm$ から、レンズの式 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}$ を使うと $\frac{1}{30} + \frac{1}{15} = \frac{1}{30} + \frac{2}{30} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}$ なので $f = 10 cm$ 。検算: 物体を焦点距離の 2 倍 ( $20 cm$ ) より遠い $30 cm$ に置くと、像は焦点と焦点距離の 2 倍の間（ $10 cm$ と $20 cm$ の間）の $15 cm$ にでき、物体より小さい倒立の実像になる。大きさの比は $15 \div 30 = \frac{1}{2}$ で、 $6 \times \frac{1}{2} = 3 cm$ と一致する。

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