光と音の問題

レンズの中心を $\mathrm{O}$、レンズの右側の焦点を ${\mathrm{F}}^{\prime }$ とする（${\mathrm{OF}}^{\prime }=12$ cm）。物体の矢印の先を $\mathrm{A}$ とする。

使う光の進み方

凸レンズでは、次のことが成り立つ。
- 光軸に平行に進んでレンズに入った光は、レンズを通ったあと反対側の焦点を通る。
- レンズの中心を通る光は、そのまま真っすぐ進む。

物体が焦点より内側（レンズに近い側）にあるとき、レンズを通った光は 1 点に集まらず、広がって進む。この光を右側から見ると、光をレンズの左側へ逆にのばした線が交わる点から光が出ているように見え、そこに虚像ができる。

2 本の光

レンズの位置を基準にして、横の位置（右向きを正、cm）と光軸からの高さ（上向きを正、cm）で表す。$\mathrm{A}$ は横の位置 $-6$、高さ $2$ にある。

(1) $\mathrm{A}$ から光軸に平行に進む光は、レンズの高さ $2$ cm の点を通り、そのあと ${\mathrm{F}}^{\prime }$（横の位置 $12$、高さ $0$）を通る。この光の道すじの直線は、横に $12$ cm 進むごとに $2$ cm 下がる。この直線をレンズの左側へのばすと、左へ $1$ cm 進むごとに $\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$ cm ずつ高くなる。

(2) $\mathrm{A}$ から $\mathrm{O}$ を通る光は真っすぐ進む。この直線は $\mathrm{A}$（左へ $6$ cm、高さ $2$ cm）と $\mathrm{O}$ を通るので、レンズから左へ $1$ cm 進むごとに $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ cm ずつ高くなる。

交わる点（虚像の先）

レンズから左へ $x$ cm の位置で 2 本の直線が交わるとすると、その位置での高さは
- (1) の直線: $2+\frac{1}{6}x$
- (2) の直線: $\frac{1}{3}x$

これらが等しいので
$$2+\frac{1}{6}x=\frac{1}{3}x$$
両辺を $6$ 倍して
$$12+x=2x$$
$$x=12$$
このときの高さは $\frac{1}{3}\times 12=4$ cm。

物体の下の端は光軸上にあるので、その像も光軸上にある。したがって、虚像はレンズの左側 $12$ cm の位置に、物体と同じ向きで高さ $4$ cm にできる。

物体はレンズから $6$ cm で、焦点距離 $12$ cm より内側にあるので、虚像ができる。作図で考える。物体の先から出て光軸に平行に進む光は、レンズで曲げられて右側の焦点（レンズから $12$ cm）を通る。レンズの中心を通る光は直進する。この 2 本の光を右側から見ると、物体の先からの光は、物体と同じ側の、ある 1 点から出ているように見える。この点が虚像の先である。
中心を通る光の直線上で考える。物体の先は、レンズから $6$ cm・光軸から $2$ cm の位置。平行な光がレンズに当たる点は光軸から $2$ cm の高さで、そこから右の焦点（$12$ cm 先）に向かう直線をレンズの左側にのばすと、レンズから左へ $x$ cm の位置で高さが $2+2\times \frac{x}{12}$ cm となる。一方、中心を通る直線は、レンズから左へ $x$ cm で高さ $\frac{2}{6}x=\frac{x}{3}$ cm。両者が交わるとき $\frac{x}{3}=2+\frac{x}{6}$ より $\frac{x}{6}=2$、$x=12$。このとき高さは $\frac{12}{3}=4$ cm。
別の方法（写像の式、虚像の距離を $b$ として $\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{1}{f}$）: $\frac{1}{6}-\frac{1}{b}=\frac{1}{12}$ より $\frac{1}{b}=\frac{1}{12}$、$b=12$ cm。倍率は $\frac{12}{6}=2$ 倍なので、像の高さは $2\times 2=4$ cm。2 通りの方法で一致した。