凸レンズの像の大きさと焦点距離の計算

レンズの中心を通る光がつくる相似な三角形から（像の高さ）÷（物体の高さ）=（レンズから像までの距離）÷（レンズから物体までの距離）を使って像の大きさや距離を求め、さらに光軸に平行に進んで焦点を通る光がつくる相似な三角形から（像の高さ）÷（物体の高さ）=（レンズから像までの距離 − 焦点距離）÷ 焦点距離とおいて、1 次方程式で焦点距離を求められる

前提

凸レンズの実像と虚像（中学理科物理分野の用語と知識）

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算数中学高校大学大学院

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光の反射・屈折・全反射の用語（中学理科物理分野の用語と知識）
凸レンズの実像と虚像（中学理科物理分野の用語と知識）

説明

凸レンズで実像ができるとき、物体の高さ・像の高さ・レンズから物体までの距離・レンズから像までの距離・焦点距離の間には、相似な三角形から導ける比の関係があります。この技能では、その関係を使って、像の大きさやレンズから像までの距離を求めたり、1 次方程式を立てて焦点距離を求めたりします。スクリーンにうつった像の大きさや位置を測る実験の結果から、レンズの焦点距離を計算するときに使います。

なぜそうしてよいのか

物体の高さを $h$ 、像の高さを $h^{'}$ 、レンズから物体までの距離を $a$ 、レンズから像までの距離を $b$ 、焦点距離を $f$ とします（実像ができるとき）。物体の先端から出てレンズの中心を通る光は直進し、像の先端に届きます。このとき「物体の先端・物体の根もと・レンズの中心」でできる直角三角形と、「像の先端・像の根もと・レンズの中心」でできる直角三角形は、レンズの中心で向かい合う角（対頂角）が等しく、どちらも直角をもつので相似です。対応する辺の比から $\frac{h ^{'}}{h} = \frac{b}{a}$

また、物体の先端から光軸に平行に進む光は、レンズの高さ $h$ の点で屈折して反対側の焦点を通り、像の先端に届きます。このとき「レンズ上の高さ $h$ の点・レンズの中心・焦点」でできる直角三角形（縦 $h$ 、横 $f$ ）と、「像の先端・像の根もと・焦点」でできる直角三角形（縦 $h^{'}$ 、横 $b - f$ ）は、焦点で向かい合う角が等しく、どちらも直角をもつので相似です。よって $\frac{h ^{'}}{h} = \frac{b - f}{f}$

どちらの式も左辺は同じ $\frac{h ^{'}}{h}$ （像が物体の何倍か）なので、1 つ目の式で倍率を求め、それを 2 つ目の式に入れると、 $f$ についての 1 次方程式になって焦点距離が求められます。

手順

物体の高さ $h$ 、像の高さ $h^{'}$ 、レンズから物体までの距離 $a$ 、レンズから像までの距離 $b$ 、焦点距離 $f$ のうち、わかっているものを整理する
レンズの中心を通る光の相似から $\frac{h ^{'}}{h} = \frac{b}{a}$ を使い、像の大きさや距離、または倍率 $\frac{h ^{'}}{h}$ を求める
焦点距離を求めるときは、光軸に平行な光の相似から $\frac{h ^{'}}{h} = \frac{b - f}{f}$ とおき、手順 2 で求めた倍率を左辺に入れる
両辺に $f$ をかけて分母をはらい、1 次方程式を解いて $f$ を求める
求めた $f$ が $a$ や $b$ より小さい（物体が焦点の外側にある）ことを確かめる

例題

高さ 4 cm の物体を凸レンズから 30 cm の位置に光軸に垂直に置いたところ、レンズの反対側でレンズから 15 cm の位置に置いたスクリーンに、はっきりした実像がうつりました。この凸レンズの焦点距離は何 cm ですか。

例題の解答

手順 1: $h = 4$ cm、 $a = 30$ cm、 $b = 15$ cm で、 $h^{'}$ と $f$ が未知です。

手順 2: レンズの中心を通る光の相似から $\frac{h ^{'}}{h} = \frac{b}{a} = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$ 像の高さは $h^{'} = 4 \times \frac{1}{2} = 2$ cm です。

手順 3: 光軸に平行な光の相似から $\frac{h ^{'}}{h} = \frac{15 - f}{f} より \frac{1}{2} = \frac{15 - f}{f}$

手順 4: 両辺に $2 f$ をかけて $f = 2 (15 - f) = 30 - 2 f$ 、よって $3 f = 30$ 、 $f = 10$ です。

手順 5: $f = 10$ は $a = 30$ 、 $b = 15$ より小さく、物体は焦点の外側にあるので実像ができることと合っています。よって焦点距離は 10 cm です。

答え: $10$

よくある誤り

倍率を $\frac{h ^{'}}{h} = \frac{a}{b}$ と逆にしてしまう誤り。正しくは像の高さには像までの距離が対応して $\frac{h ^{'}}{h} = \frac{b}{a}$ 。 $a = 30$ 、 $b = 15$ なら像は物体の $\frac{1}{2}$ 倍で、2 倍ではない。
光軸に平行な光の相似で、像側の三角形の横の長さを $b$ としてしまう誤り。正しくは三角形は焦点から像までなので横は $b - f$ で、 $\frac{h ^{'}}{h} = \frac{b - f}{f}$ 。
方程式 $\frac{1}{2} = \frac{15 - f}{f}$ で分母をはらうとき、右辺の分子にだけ 2 をかけて $f = 30 - f$ としてしまう誤り。正しくは両辺に $2 f$ をかけて $f = 2 (15 - f) = 30 - 2 f$ となり、 $f = 10$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
凸レンズの光軸上に、高さ $4 cm$ の物体を光軸に垂直に立てて置きました。物体から凸レンズの中心までの距離は $30 cm$ です。凸レンズの反対側で、凸レンズの中心から $15 cm$ の位置に光軸に垂直にスクリーンを置いたところ、スクリーンに物体のはっきりした実像がうつりました。スクリーンにうつった像の高さは何 cm ですか。
$4 cm$ 物体凸レンズスクリーン $30 cm$ $15 cm$

凸レンズの像の大きさと焦点距離の計算

前提

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なぜそうしてよいのか

手順

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よくある誤り

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