光と音の問題
焦点距離のわからない凸レンズがある。このレンズの軸（光軸）上の、レンズの左側 cm の位置に、高さ cm の矢印の形をした物体を光軸に垂直に立てて置いた。物体の下の端は光軸上にある。
レンズの右側に光軸に垂直なスクリーンを置いて、光軸にそって動かしたところ、ある位置でスクリーンに物体のはっきりした像がうつり、その像の高さは cm であった。この凸レンズの焦点距離は何 cm ですか。
この問題で使うもの
- 凸レンズの像の大きさと焦点距離の計算（説明と入口の問題）
この問題を解けるようになるまで（3 技能）
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ヒント
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ヒント 1
まず、レンズの中心を通る光を使って、レンズから像までの距離を求めよう。
ヒント 2
像の高さが物体の 倍なので、レンズから像までの距離もレンズから物体までの距離の 倍になる。次に、光軸に平行に進んでから焦点を通る光で相似な三角形を作ろう。
ヒント 3
レンズから像までは cm である。焦点距離を cm とすると、 が成り立つ。
答えと解説
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解説を読む
物体の先端を A、物体の下の端（光軸上）を B、レンズの中心を O とする。また、像の先端を A'、像の下の端（光軸上）を B' とする。スクリーンにうつる像は実像で、物体と上下が逆向きになる。
レンズから像までの距離
A から出てレンズの中心 O を通る光は直進して A' に届く。三角形 ABO と三角形 A'B'O は相似（対頂角が等しく、AB と A'B' はどちらも光軸に垂直）なので
よって
焦点距離
A から光軸に平行に進んだ光は、レンズの点 C（光軸から cm 上の点）で屈折し、レンズの右側の焦点 F を通って A' に届く。焦点距離を cm とすると、OF 、FB' である。
三角形 COF と三角形 A'B'F は相似（F での対頂角が等しく、CO と A'B' はどちらも光軸に垂直）なので
よって、焦点距離は cm である（物体は焦点距離の 2 倍の cm より近く、焦点より遠いので、大きな実像ができることとも合っている）。
別解
スクリーンにうつる像は実像で、物体と上下左右が逆向きの像である。像の高さは物体の (倍)。\n\n凸レンズでできる実像では、像の大きさの比は、レンズから像までの距離とレンズから物体までの距離の比に等しい。よって、レンズから像までの距離は (cm)。\n\n物体の位置が焦点距離の 倍より遠いか近いかを考える。物体からレンズまでの距離が cm、像までの距離が cm のとき、焦点距離を cm とすると、レンズの式 が成り立つ。 なので、 (cm)。\n\n中学の考え方で確かめる: 焦点距離が cm なら、物体は焦点距離の 倍（ cm）より近く、焦点より遠い位置（ cm と cm のあいだ）にあるので、物体より大きい実像が、レンズから焦点距離の 倍より遠い位置にできる。これは問題の条件に合う。\n\n答え: cm。