光と音の問題

上面と下面が平行で水平な、厚さ $6$ cm のガラス板がある。ガラス板の下面は、水平な床から $8$ cm の高さにあり、ガラス板と床のあいだは空気である。以下では、光の道すじをふくむ鉛直な断面の中だけで考える。

空気中から、右へ $3$ cm 進むごとに下へ $4$ cm 進む向きに光を進ませ、ガラス板の上面の点 A に当てた。光は点 A で屈折し、ガラスの中では右へ $1$ cm 進むごとに下へ $2$ cm 進む向きにまっすぐ進んだ。そのあと光はガラス板の下面で屈折して空気中に出て、床に当たった。

光がガラスから空気中に出るときは、空気からガラスに入るときの道すじを逆にたどるように屈折する（光の道すじは逆向きにもたどれる）ものとする。点 A の真下にある床の点を H とするとき、光が床に当たる点は H から何 cm はなれていますか。

空気中に、ガラスでできた柱が置かれている。柱の断面は四角形 ABCD で、$\mathrm{AD}\parallel \mathrm{BC}$、$\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{B}=90^{\circ }$、$\angle \mathrm{D}=65^{\circ }$ である。面 AD が水平な上の面、面 AB が鉛直な左の面になっている。以下では、この断面の中だけで光の道すじを考える。

左上の空気中から進んできた光を、面 AD 上の点 P に入射角 $60^{\circ }$ で当てた。光は点 P で屈折してガラスの中を右下へ進み、面 CD 上の点 Q に達した。

光が空気中からこのガラスに進むときの入射角と屈折角の関係は、次のとおりである。

• 入射角 $30^{\circ }$ のとき、屈折角 $19^{\circ }$
• 入射角 $40^{\circ }$ のとき、屈折角 $25^{\circ }$
• 入射角 $49^{\circ }$ のとき、屈折角 $30^{\circ }$
• 入射角 $60^{\circ }$ のとき、屈折角 $35^{\circ }$
• 入射角 $70^{\circ }$ のとき、屈折角 $39^{\circ }$

また、光が進む向きを逆にしても、光は同じ道すじを通る。光がこのガラスから空気中へ進むときは、入射角が $42^{\circ }$ より大きいと全反射し、$42^{\circ }$ より小さいと屈折して空気中へ出ていく。

点 Q で、光は全反射するか、または屈折して空気中へ出ていく。点 Q から空気中へ出ていく光の屈折角は何度ですか。点 Q で全反射する場合は $0$ と答えなさい。ただし、点 Q で反射する光は考えないものとする。

底面が三角形 ABC の三角柱の形をしたガラスがあり、三角形 ABC の角の大きさは $\angle A=90^{\circ }$, $\angle B=60^{\circ }$, $\angle C=30^{\circ }$ である。以下では、三角形 ABC をふくむ平面内を進む光だけを考え、ガラスの側面を辺の名前で「面 AB」「面 BC」「面 CA」とよぶ。

このガラスでは、ガラスから空気中へ進もうとする光は、入射角が $42^{\circ }$ より大きいときは全反射し、$42^{\circ }$ より小さいときは境界面で屈折して空気中へ出ていくものとする。

空気中から、辺 CA に平行な光を、面 AB の真ん中あたりに垂直に当てた。この光が、ガラスの中から初めて空気中へ出ていく面での入射角は何度ですか。

底が水平な大きな水そうに、深さ $30$ cm まで水を入れた。水そうの底の内側には黒い紙をしき、内側のかべにも黒い紙をはって、水そうの底やかべに当たった光ははね返らないようにした。水そうの底の中央から真上に $9$ cm の水中の点 P に、小さな電球を置いた。電球からは、あらゆる向きに光が出ている。

水中から水面に向かって進む光について調べたところ、次のことがわかった。

【わかったこと】光が水中の 1 点から水面上の 1 点まで真っすぐ進むとき、その 2 点間の水平方向の距離が、鉛直方向の距離の $\frac{8}{7}$ 倍以下であれば、光の一部は水面で屈折して空気中に出ていく。$\frac{8}{7}$ 倍より大きいと、光は水面で全反射して、空気中には出ていかない。

水面に、光を通さない円形のうすい板を、板の中心が点 P の真上にくるように水平に浮かべ、電球の光が水面から空気中に出ていかないようにしたい。板の半径を少なくとも何 cm にすればよいですか。

ただし、水そうは十分に広く、電球の光はかべに当たる前にすべて水面か底に達するものとする。また、電球と板の大きさ・厚さは考えなくてよく、光は真っすぐ進むものとする（水面で屈折・反射するとき以外）。

水平な床の上に、床に垂直な平らなかべがある。このかべに、大きな平面鏡が、鏡の面がかべの面と重なるように取り付けてある。鏡の下の端は床から $64$ cm の高さにあり、鏡の上の端は十分に高い位置にある。また、鏡の横の幅は十分に広い。

花子さんは、かべから $120$ cm はなれた床の上に、かべのほうを向いて立っている。花子さんの目の高さは床から $160$ cm である。

花子さんが、立つ位置を変えず、目の位置も動かさずに鏡を見たところ、鏡に床が映って見えた。花子さんの足もとからかべに向かってのびる床のうち、鏡に映って見える部分は、かべから何 cm 以上はなれた部分か。ただし、花子さんの目とかべに垂直な鉛直な断面の中だけで考え、花子さんのからだで光がさえぎられることはないものとする。