光と音の問題

空気中に、三角柱の形をしたガラスが置かれている。三角柱の底面は三角形 ABC で、$\angle \mathrm{A}=90^{\circ }$、$\angle \mathrm{B}=50^{\circ }$、$\angle \mathrm{C}=40^{\circ }$ である。以下では、三角形 ABC をふくむ平面（断面）の中だけで考える。

空気中から、辺 AB 上の点 R に、辺 AB に垂直に光を当てた。光は辺 AB で曲がらずにガラスの中へ進み、辺 AC に平行に進んで辺 BC に当たった。

このガラスでは、ガラスから空気へ進む光は、入射角が $42^{\circ }$ より大きいと全反射し、入射角が $42^{\circ }$ 以下のときは屈折して空気中へ出ていくものとする。また、光が空気中へ出ていくときに面で一部が反射する光は考えないものとする。

この光が、ガラスの中から初めて空気中へ出ていく面での入射角は何度ですか。

底面が三角形 ABC の三角柱の形をしたガラスがあり、三角形 ABC の角の大きさは $\angle A=90^{\circ }$, $\angle B=60^{\circ }$, $\angle C=30^{\circ }$ である。以下では、三角形 ABC をふくむ平面内を進む光だけを考え、ガラスの側面を辺の名前で「面 AB」「面 BC」「面 CA」とよぶ。

このガラスでは、ガラスから空気中へ進もうとする光は、入射角が $42^{\circ }$ より大きいときは全反射し、$42^{\circ }$ より小さいときは境界面で屈折して空気中へ出ていくものとする。

空気中から、辺 CA に平行な光を、面 AB の真ん中あたりに垂直に当てた。この光が、ガラスの中から初めて空気中へ出ていく面での入射角は何度ですか。

直方体のガラスの棒が空気中に水平に置かれている。棒の長さは $39$ cm、厚さ（上面と下面のあいだの距離）は $3$ cm である。以下では、棒の長さの方向と厚さの方向をふくむ鉛直な断面の中だけで考える。

棒の左端の面の、下面から $1$ cm の高さの点 P から、ガラスの中を右上に向かって光が進んでいる。この光は、右へ $2$ cm 進むごとに上へ $1$ cm 進む向きにまっすぐ進む。このガラスから空気へ光が進むとき、入射角が $42^{\circ }$ より大きいと光は全反射する。また、この光が棒の上面や下面に当たるときの入射角は約 $63^{\circ }$、棒の右端の面に当たるときの入射角は約 $27^{\circ }$ であり、上面・下面で反射した光も、反射の法則にしたがって入射角と反射角が等しくなるように進む。

点 P から出た光が、はじめて棒の右端の面に達する点は、棒の下面から何 cm の高さにありますか。

上面と下面が平行で水平な、厚さ $6$ cm のガラス板がある。ガラス板の下面は、水平な床から $8$ cm の高さにあり、ガラス板と床のあいだは空気である。以下では、光の道すじをふくむ鉛直な断面の中だけで考える。

空気中から、右へ $3$ cm 進むごとに下へ $4$ cm 進む向きに光を進ませ、ガラス板の上面の点 A に当てた。光は点 A で屈折し、ガラスの中では右へ $1$ cm 進むごとに下へ $2$ cm 進む向きにまっすぐ進んだ。そのあと光はガラス板の下面で屈折して空気中に出て、床に当たった。

光がガラスから空気中に出るときは、空気からガラスに入るときの道すじを逆にたどるように屈折する（光の道すじは逆向きにもたどれる）ものとする。点 A の真下にある床の点を H とするとき、光が床に当たる点は H から何 cm はなれていますか。

底が水平な大きな水そうに、深さ $30$ cm まで水を入れた。水そうの底の内側には黒い紙をしき、内側のかべにも黒い紙をはって、水そうの底やかべに当たった光ははね返らないようにした。水そうの底の中央から真上に $9$ cm の水中の点 P に、小さな電球を置いた。電球からは、あらゆる向きに光が出ている。

水中から水面に向かって進む光について調べたところ、次のことがわかった。

【わかったこと】光が水中の 1 点から水面上の 1 点まで真っすぐ進むとき、その 2 点間の水平方向の距離が、鉛直方向の距離の $\frac{8}{7}$ 倍以下であれば、光の一部は水面で屈折して空気中に出ていく。$\frac{8}{7}$ 倍より大きいと、光は水面で全反射して、空気中には出ていかない。

水面に、光を通さない円形のうすい板を、板の中心が点 P の真上にくるように水平に浮かべ、電球の光が水面から空気中に出ていかないようにしたい。板の半径を少なくとも何 cm にすればよいですか。

ただし、水そうは十分に広く、電球の光はかべに当たる前にすべて水面か底に達するものとする。また、電球と板の大きさ・厚さは考えなくてよく、光は真っすぐ進むものとする（水面で屈折・反射するとき以外）。