力のはたらきの問題

難易度 3公立高校入試の標準レベル中学理科力のはたらき

2 本のばね A, B がある。それぞれのばねの上端を天井に固定し、下端におもりをつるして、静止したときのばね全体の長さをはかったところ、次のようになった。

ばね A：質量 $20 g$ のおもりのとき $12.8 cm$ 、質量 $60 g$ のおもりのとき $14.4 cm$
ばね B：質量 $30 g$ のおもりのとき $9.8 cm$ 、質量 $70 g$ のおもりのとき $12.2 cm$

どちらのばねも、のびはばねを引く力の大きさに比例するものとし、ばねの質量は考えない。ばね A とばね B に、同じ質量のおもりを 1 個ずつつるしたところ、2 本のばね全体の長さが等しくなった。つるしたおもり 1 個の質量は何 g ですか。

ばね Aばね B

同じ質量のおもりをつるしたようす

この問題で使うもの

ばねののびと力（フックの法則）（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（2 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

2 つの測定結果から、それぞれのばねの「10 g あたりののび」と「自然の長さ」を求めましょう。

ヒント 2

おもりの質量を $x g$ とすると、ばね全体の長さは「自然の長さ $+$ のび」で表せます。2 本のばねの長さを $x$ の式で表して等しいとおきましょう。

ヒント 3

ばね A は自然の長さ $12.0 cm$ で $10 g$ あたり $0.4 cm$ 、ばね B は自然の長さ $8.0 cm$ で $10 g$ あたり $0.6 cm$ のびます。

答えと解説

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200

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解説を読む

ばね A の性質

おもりを $20 g$ から $60 g$ に $40 g$ ふやすと、長さは $14.4 - 12.8 = 1.6 (cm)$ のびた。のびは力に比例する（フックの法則）ので、 $10 g$ あたりののびは $1.6 \div 4 = 0.4 (cm)$ である。 $20 g$ のときののびは $0.4 \times 2 = 0.8 (cm)$ なので、自然の長さは $12.8 - 0.8 = 12.0 (cm)$ である。

ばね B の性質

$30 g$ から $70 g$ に $40 g$ ふやすと、 $12.2 - 9.8 = 2.4 (cm)$ のびたので、 $10 g$ あたりののびは $2.4 \div 4 = 0.6 (cm)$ である。 $30 g$ のときののびは $0.6 \times 3 = 1.8 (cm)$ なので、自然の長さは $9.8 - 1.8 = 8.0 (cm)$ である。

長さが等しくなる条件

おもり 1 個の質量を $x g$ とすると、ばね全体の長さは
$ばね A : 12.0 + 0.4 \times \frac{x}{10} = 12.0 + 0.04 x$
$ばね B : 8.0 + 0.6 \times \frac{x}{10} = 8.0 + 0.06 x$
これらが等しいので
$12.0 + 0.04 x = 8.0 + 0.06 x$
$0.02 x = 4.0, x = 200$
よって、おもり 1 個の質量は $200 g$ である。（確かめ：どちらのばねも長さは $20.0 cm$ になる。）

別解

ばね A: おもりが $20$ g から $60$ g に $40$ g 増えると、長さは $12.8$ cm から $14.4$ cm に $1.6$ cm のびる。 $1$ g あたり $1.6 \div 40 = 0.04$ cm のびる。 $20$ g のときののびは $0.04 \times 20 = 0.8$ cm なので、自然の長さは $12.8 - 0.8 = 12.0$ cm。
ばね B: おもりが $30$ g から $70$ g に $40$ g 増えると、長さは $9.8$ cm から $12.2$ cm に $2.4$ cm のびる。 $1$ g あたり $2.4 \div 40 = 0.06$ cm のびる。 $30$ g のときののびは $0.06 \times 30 = 1.8$ cm なので、自然の長さは $9.8 - 1.8 = 8.0$ cm。
おもり 1 個の質量を $m$ g とすると、ばね A の長さは $12.0 + 0.04 m$ cm、ばね B の長さは $8.0 + 0.06 m$ cm。これらが等しいので $12.0 + 0.04 m = 8.0 + 0.06 m$ 。 $4.0 = 0.02 m$ 、 $m = 200$ 。
検算: ばね A は $12.0 + 0.04 \times 200 = 20.0$ cm、ばね B は $8.0 + 0.06 \times 200 = 20.0$ cm で等しい。

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