力のはたらきの問題
2 本のばね A, B がある。ばねののびは、ばねを引く力の大きさに比例する。
- ばね A：自然の長さは である。上端を固定して下端に質量 のおもりをつるすと、ばねは のびた。
- ばね B：上端を固定して下端におもりをつるし、静止したときのばね全体の長さをはかると、質量 のおもりのとき 、質量 のおもりのとき であった。
次に、水平な机の上で、ばね A の左端を机の左はしに立てた壁に固定し、ばね A の右端にばね B の左端をつないだ。さらに、ばね B の右端に糸をつけ、糸を机の右はしに取りつけた滑車にかけて、糸の先に質量のわからないおもり X をつるした。ばね A、ばね B、および滑車までの糸は一直線上にあって水平であり、おもり X は静止した。このとき、壁からばね B の右端までの長さ（ばね A とばね B の長さの合計）は であった。
おもり X の質量は何 g ですか。ただし、質量 の物体にはたらく重力の大きさを とし、ばねと糸の質量、ばねと机の間の摩擦、滑車の摩擦は考えないものとする。
この問題で使うもの
- 重力と力の大きさ（説明と入口の問題）
- ばねののびと力（フックの法則）（説明と入口の問題）
- ばねのつなぎ方とばねにはたらく力（説明と入口の問題）
この問題を解けるようになるまで（4 技能）
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ヒント
行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。
ヒント 1
まず、ばね B の 2 つのデータの差から、ばね B が 1 N あたり何 cm のびるかと、自然の長さを求めましょう。
ヒント 2
直列につないだ 2 本のばねには、どちらもおもり X の重力と同じ大きさの力がはたらきます。2 本ののびの合計は、全体の長さから自然の長さの合計を引いたものです。
ヒント 3
ばね B は 1 N で 1.0 cm のび、自然の長さは 8.0 cm です。2 本ののびの合計は 27.2 − 20.0 = 7.2 cm で、100 g あたり 2 本合わせて 3.0 cm のびます。
答えと解説
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解説を読む
ばね B の性質を求める。
おもりの質量が ふえると、ばね B の長さは ふえている。ばねののびは引く力に比例する（フックの法則）ので、ばね B は のおもりの重力（）で のびる。
のおもりではのびは なので、ばね B の自然の長さは である。
ばねを引く力を考える。
おもり X は静止しているので、糸がおもり X を引く力は X にはたらく重力とつり合う。滑車の摩擦や糸の質量は考えないので、糸はばね B の右端を同じ大きさの力で引く。ばねの質量や机との摩擦も考えないので、直列につないだばね A とばね B には、どちらも X の重力と同じ大きさの力がはたらく。
おもり X の質量を求める。
おもり X の質量を とする。（ 分）あたりのびは、ばね A が 、ばね B が なので、2 本ののびの合計は あたり である。
2 本の自然の長さの合計は なので、のびの合計は
よって
おもり X の質量は である。
（確かめ：ばね A は のびて 、ばね B は のびて 、合計 。）
別解
ばね A は （）で のびるので、 あたり のびる。
ばね B は、おもりが から に ふえると、長さが から へ ふえる。よって あたり のびる。
のときののびは なので、ばね B の自然の長さは である。
水平につないだとき、ばね A とばね B は同じ大きさの力で引かれる。この力の大きさは、おもり X にはたらく重力に等しい。X の質量を とする。
- ばね A ののび：
- ばね B ののび：
全体の長さは自然の長さの合計 にのびの合計を足したものなので、
検算：ばね A は 、ばね B は のびる。全体の長さは となり、問題文と一致する。
したがって、おもり X の質量は である。