水溶液の問題

質量パーセント濃度は
$$\text{質量パーセント濃度}[\%]=\frac{\text{溶質の質量}[\mathrm{g}]}{\text{水溶液の質量}[\mathrm{g}]}\times 100$$
で求められる。

はじめの水溶液 $200\mathrm{g}$ にふくまれる硫酸銅（溶質）の質量は
$$200\times \frac{9}{100}=18(\mathrm{g})$$
である。

加える硫酸銅の結晶を $x\mathrm{g}$ とする。結晶 $25\mathrm{g}$ に硫酸銅が $16\mathrm{g}$ ふくまれるので、結晶 $x\mathrm{g}$ にふくまれる硫酸銅は $\frac{16}{25}x\mathrm{g}$ である。結晶にふくまれていた水は溶けたあと水溶液の水になるので、溶質として増えるのは $\frac{16}{25}x\mathrm{g}$ だけであり、水溶液全体の質量は結晶の質量 $x\mathrm{g}$ だけ増える。

したがって、できた水溶液について
- 溶質（硫酸銅）の質量: $18+\frac{16}{25}x(\mathrm{g})$
- 水溶液の質量: $200+x(\mathrm{g})$

これが $20\%$ になるので
$$18+\frac{16}{25}x=(200+x)\times \frac{20}{100}$$
両辺を $25$ 倍すると
$$450+16x=1000+5x$$
$$11x=550$$
$$x=50$$

確かめ: 結晶 $50\mathrm{g}$ には硫酸銅が $50\times \frac{16}{25}=32\mathrm{g}$ ふくまれるので、溶質は $18+32=50\mathrm{g}$、水溶液は $200+50=250\mathrm{g}$ となり、$\frac{50}{250}\times 100=20(\%)$ で条件に合う。

よって、加える硫酸銅の結晶は $50\mathrm{g}$ である。

加える結晶を $x\mathrm{g}$ とする。結晶 $25\mathrm{g}$ には硫酸銅が $16\mathrm{g}$ ふくまれるので、結晶 $x\mathrm{g}$ にふくまれる硫酸銅は $\frac{16}{25}x\mathrm{g}$ である。

もとの水溶液 $200\mathrm{g}$ にふくまれる硫酸銅は $200\times 0.09=18\mathrm{g}$。

結晶を加えた後の水溶液の質量は $200+x\mathrm{g}$（結晶中の水も水溶液の一部になるため、結晶の質量全体が加わる）。
溶けている硫酸銅の質量は $18+\frac{16}{25}x\mathrm{g}$。

濃度が $20\%$ なので
$18+\frac{16}{25}x=0.2(200+x)$
$18+0.64x=40+0.2x$
$0.44x=22$
$x=50$

検算：結晶 $50\mathrm{g}$ には硫酸銅 $32\mathrm{g}$ がふくまれる。溶質は $18+32=50\mathrm{g}$、水溶液は $250\mathrm{g}$ で、$50÷250=0.2$ より $20\%$ となり条件に合う。

答え：$50\mathrm{g}$