圏論の問題

$X=\{1,2,3\}$ とし、写像 $X\to X$ 全体のなす集合を $T_3$ とする。$T_3$ は写像の合成 $a\cdot b=a\circ b$ を積とし、恒等写像を単位元とするモノイドである（$|T_3|=27$）。

次のように圏 $\mathcal{K}$ を定める。
- 対象は、$T_3$ の冪等元、すなわち $e\circ e=e$ をみたす $e\in T_3$ である。
- 対象 $e$ から対象 $f$ への射は、$f\circ a\circ e=a$ をみたす $a\in T_3$ である（異なる対象の組に対する射は、同じ写像 $a$ であっても別の射として数える）。
- 射 $a:e\to f$ と $b:f\to g$ の合成は $b\circ a:e\to g$、対象 $e$ の恒等射は $e$ 自身である。

（これは $T_3$ の冪等元完備化（Karoubi 包絡）である。）圏 $\mathcal{K}$ の射の総数、すなわち
$$\sum _{e,f}|{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{K}}(e,f)|$$
（和は $\mathcal{K}$ の対象の順序対 $(e,f)$ 全体にわたる）を求めよ。

半順序集合 $(Q,\le )$ は、対象を $Q$ の元とし、$p\le q$ のときに限り $p$ から $q$ への射がちょうど $1$ つ存在する（それ以外のときは射が存在しない）圏とみなす。

$P=\{0,1,2\}$ を通常の順序 $0<1<2$ で全順序集合とみなした圏とする。関手 $F:P\to P$ を対象とし、関手の間の自然変換を射とする関手圏を $[P,P]$ とする。

関手圏 $[P,P]$ の射（自然変換）の総数を求めよ。ただし、すべての対象の組 $(F,G)$ についての $F$ から $G$ への自然変換を合計し、恒等自然変換も数に含める。

$M$ をモノイド（積を $mn$、単位元を $e$ と書く）とする。集合 $A$ と写像 $M\times A\to A,(m,a)\mapsto m\cdot a$ の組で、すべての $m,n\in M,a\in A$ に対して $e\cdot a=a$ かつ $m\cdot (n\cdot a)=(mn)\cdot a$ を満たすものを左 $M$ 集合という。左 $M$ 集合を対象とし、$M$ 同変写像（$h(m\cdot a)=m\cdot h(a)$ を満たす写像 $h$）を射とする圏を $M\text{-}\mathbf{Set}$ とし、作用を忘れる関手を $U:M\text{-}\mathbf{Set}\to \mathbf{Set}$ とする。

集合 $X$ に対し、$M$ から $X$ へのすべての写像の集合を $R(X)$ とし、$m\in M,f\in R(X)$ に対して $m\cdot f\in R(X)$ を
$$(m\cdot f)(n)=f(nm)(n\in M)$$
で定める。また、写像 $g:X\to Y$ に対し $R(g):R(X)\to R(Y)$ を $R(g)(f)=g\circ f$ で定める。

次を証明せよ: $R$ は関手 $\mathbf{Set}\to M\text{-}\mathbf{Set}$ を定め、左 $M$ 集合 $A$ と集合 $X$ に対して
$${\Phi }_{A,X}:{\mathrm{Hom}}_{M\text{-}\mathbf{Set}}(A,R(X))\to {\mathrm{Hom}}_{\mathbf{Set}}(U(A),X),{\Phi }_{A,X}(\phi )(a)=\phi (a)(e)$$
で定まる写像は全単射であり、$A$ と $X$ について自然である。すなわち $U$ は $R$ の左随伴である（$U⊣R$）。

半順序集合 $(Q,\le )$ は、対象を $Q$ の元とし、$p\le q$ のときに限り $p$ から $q$ への射がちょうど $1$ つ存在する（それ以外のときは射が存在しない）圏とみなす。

集合 $\{1,2,3,4\}$ の分割（空でない互いに素な部分集合（ブロック）への分け方）全体を ${\Pi }_4$ とし、分割 $\pi ,\sigma$ について「$\pi$ の各ブロックが $\sigma$ のあるブロックに含まれる」ときに $\pi \le \sigma$ と定める（細分による順序）。この半順序集合 $({\Pi }_4,\le )$ を圏とみなしたとき、射（恒等射も含む）の総数を求めよ。

$12$ の正の約数全体 $P=\{1,2,3,4,6,12\}$ を整除関係 $d\mid e$ で順序づけた半順序集合とみなし、これを圏 $\mathcal{P}$ とする（対象は $P$ の元で、$d\mid e$ のときに限り $d$ から $e$ への射がちょうど 1 本ある）。

共変関手 $F:\mathcal{P}\to \mathbf{Set}$ を次で定める。各 $d\in P$ に対し
$$F(d)=\{(a,b)\mid a,b\text{ は }d\text{ の正の約数で }a\mid b\}$$
とし、$d\mid e$ の射に対しては包含写像 $F(d)\hookrightarrow F(e)$ を対応させる。

表現可能関手 ${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{P}}(6,-):\mathcal{P}\to \mathbf{Set}$ から $F$ への自然変換の個数を求めよ。