圏の定義と有限の圏

半順序集合 $(Q,\le )$ は、対象を $Q$ の元とし、$p\le q$ のときに限り $p$ から $q$ への射がちょうど $1$ つ存在する（それ以外のときは射が存在しない）圏とみなす。合成は、$p\le q$ と $q\le r$ の射の合成を $p\le r$ の射とすることで定め、恒等射は $p\le p$ の射とする。

集合 $Q=\{0,1\}\times \{0,1,2\}$ に、成分ごとの順序
$$(a,b)\le (a^{\prime },b^{\prime })⟺a\le a^{\prime }\text{かつ}b\le b^{\prime }$$
（各成分の $\le$ は整数の通常の大小）を入れた半順序集合を考える。これを上のように圏とみなしたとき、この圏の射の総数（恒等射も含める）を求めよ。

$12$ の正の約数全体 $P=\{1,2,3,4,6,12\}$ を整除関係 $d\mid e$ で順序づけた半順序集合とみなし、これを圏 $\mathcal{P}$ とする（対象は $P$ の元で、$d\mid e$ のときに限り $d$ から $e$ への射がちょうど 1 本ある）。

共変関手 $F:\mathcal{P}\to \mathbf{Set}$ を次で定める。各 $d\in P$ に対し
$$F(d)=\{(a,b)\mid a,b\text{ は }d\text{ の正の約数で }a\mid b\}$$
とし、$d\mid e$ の射に対しては包含写像 $F(d)\hookrightarrow F(e)$ を対応させる。

表現可能関手 ${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{P}}(6,-):\mathcal{P}\to \mathbf{Set}$ から $F$ への自然変換の個数を求めよ。

半順序集合 $(Q,\le )$ は、対象を $Q$ の元とし、$p\le q$ のときに限り $p$ から $q$ への射がちょうど $1$ つ存在する（それ以外のときは射が存在しない）圏とみなす。

集合 $X=\{1,2,3,4\}$ の部分集合全体を包含関係 $\subseteq$ で順序づけた半順序集合を圏とみなしたものを $\mathcal{P}$ とし、$3$ つの元からなる全順序集合 $\{0<1<2\}$ を圏とみなしたものを $3$ とする。

関手 $F:3\to \mathcal{P}$ の個数を求めよ。ただし、2 つの関手は、対象への対応と射への対応がともに一致するときに限り同じとみなす。

半順序集合 $(Q,\le )$ は、対象を $Q$ の元とし、$p\le q$ のときに限り $p$ から $q$ への射がちょうど $1$ つ存在する（それ以外のときは射が存在しない）圏とみなす。

集合 $\{1,2,3,4\}$ の分割（空でない互いに素な部分集合（ブロック）への分け方）全体を ${\Pi }_4$ とし、分割 $\pi ,\sigma$ について「$\pi$ の各ブロックが $\sigma$ のあるブロックに含まれる」ときに $\pi \le \sigma$ と定める（細分による順序）。この半順序集合 $({\Pi }_4,\le )$ を圏とみなしたとき、射（恒等射も含む）の総数を求めよ。

半順序集合 $(Q,\le )$ は、対象を $Q$ の元とし、$p\le q$ のときに限り $p$ から $q$ への射がちょうど $1$ つ存在する（それ以外のときは射が存在しない）圏とみなす。

$P=\{0,1,2\}$ を通常の順序 $0<1<2$ で全順序集合とみなした圏とする。関手 $F:P\to P$ を対象とし、関手の間の自然変換を射とする関手圏を $[P,P]$ とする。

関手圏 $[P,P]$ の射（自然変換）の総数を求めよ。ただし、すべての対象の組 $(F,G)$ についての $F$ から $G$ への自然変換を合計し、恒等自然変換も数に含める。

$M=\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}=\{0,1,2,\dots ,11\}$ を、$12$ を法とする乗法によりモノイド（単位元 $1$）とみなす。

$M$ から次のように圏 $\mathcal{K}(M)$ を作る。
- 対象は、$M$ の冪等元、すなわち $e\cdot e=e$ を満たす $e\in M$ である。
- 対象 $e$ から $f$ への射の集合を $$\mathrm{Hom}(e,f)=\{m\in M\mid f\cdot m\cdot e=m\}$$ と定める。
- 射 $m:e\to f$ と $n:f\to g$ の合成を $n\cdot m:e\to g$ とし、対象 $e$ の恒等射を $e$ とする。

（これは $M$ の冪等元完備化（カルービ包絡）と呼ばれる圏である。）圏 $\mathcal{K}(M)$ の射の総数、すなわち対象の順序対 $(e,f)$ すべてにわたる $|\mathrm{Hom}(e,f)|$ の和を求めよ。

$n\ge 0$ に対し $[n]=\{0,1,\dots ,n\}$ を通常の順序で全順序集合とみなし、対象を $[n](n\ge 0)$、射を広義単調増加な写像とする圏を $\Delta$ とする。単体的集合とは関手 ${\Delta }^{\mathrm{op}}\to \mathbf{Set}$ のことである。

小さい圏 $\mathcal{C}$ の脈体（nerve）$N\mathcal{C}$ を、$n$ 単体の集合 $N{\mathcal{C}}_n$ が $\mathcal{C}$ の合成可能な射の列
$$c_0\stackrel{f_1}{\to }{c}_1\stackrel{f_2}{\to }\cdots \stackrel{f_n}{\to }{c}_n$$
全体（$n=0$ のときは対象全体）であり、面写像が射の合成（両端では射の除去）、退化写像が恒等射の挿入で与えられる単体的集合とする。$n$ 単体が非退化であるとは、それがどの退化写像の像にも入らないことをいう。

圏 $\mathcal{C}$ を次で定める。対象は $x,y$ の $2$ つで、射は
$$\mathrm{Hom}(x,x)=\{{\mathrm{id}}_x\},\mathrm{Hom}(x,y)=\{u\},\mathrm{Hom}(y,x)=\{v\},\mathrm{Hom}(y,y)=\{{\mathrm{id}}_y,e\}$$
であり、恒等射以外の合成は
$$v\circ u={\mathrm{id}}_x,u\circ v=e,e\circ e=e,e\circ u=u,v\circ e=v$$
で与えられる。

脈体 $N\mathcal{C}$ の非退化な $10$ 単体の個数を求めよ。

$N\ge 2$ を整数とし、その素因数分解を $N=p_1^{e_1}{p}_2^{e_2}\cdots p_r^{e_r}$（$p_1,\dots ,p_r$ は相異なる素数、$e_1,\dots ,e_r$ は正の整数）とする。$N$ の正の約数全体の集合を $D(N)$ とし、整除関係 $a\mid b$ による半順序集合 $(D(N),\mid )$ を圏 $\mathcal{C}$ とみなす。すなわち $\mathcal{C}$ の対象は $D(N)$ の要素で、$a,b\in D(N)$ に対し $a\mid b$ のとき ${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(a,b)$ はただ 1 つの射 $a\to b$ からなり、そうでないとき空集合である（合成は一意に定まるものとする）。

正の整数 $k$ に対して、$\mathcal{C}$ の射の列 $(f_1,f_2,\dots ,f_k)$ で、各 $1\le j\le k-1$ について $f_j$ の終域と $f_{j+1}$ の始域が一致するもの（合成可能な $k$ 個の射の列）全体の集合を ${\mathcal{C}}_k$ とする（${\mathcal{C}}_1$ は $\mathcal{C}$ の射全体）。このとき
$$|{\mathcal{C}}_k|=\prod _{i=1}^r\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{e_i+k+1}{k+1}\right)$$
が成り立つことを示せ。素因数分解の一意性は用いてよい。

半順序集合 $(P,\le )$ は、対象を $P$ の元とし、$c\le d$ のときに限り $c$ から $d$ への射がちょうど $1$ つ存在する（それ以外のときは射が存在しない）圏とみなす。有限集合と写像のなす圏を $\mathbf{FinSet}$ とする。

$P=\{a_0,a_1,a_2,b_0,b_1,b_2\}$ とする。$P$ 上の半順序 $\le$ は、反射律による $c\le c$ $(c\in P)$ と、次の $6$ つの関係だけからなるものとする。
$$a_0\le b_0,a_1\le b_0,a_1\le b_1,a_2\le b_1,a_2\le b_2,a_0\le b_2$$
（これら以外の異なる $2$ 元の間には順序関係はない。）

${\mathbb{F}}_{13}=\mathbb{Z}/13\mathbb{Z}$ を $13$ 個の元からなる有限集合とみなす。関手 $F:P\to \mathbf{FinSet}$ を、すべての対象 $c\in P$ に対して $F(c)={\mathbb{F}}_{13}$ とし、恒等射を恒等写像に、恒等射以外の $6$ 本の射を次の写像に移すものとして定める（$x\in {\mathbb{F}}_{13}$ であり、べきは ${\mathbb{F}}_{13}$ の乗法で計算する）。
$$\begin{array}{rlrl}F(a_0\le b_0)& :x\mapsto x^2,& F(a_1\le b_0)& :x\mapsto x^3,\\ F(a_1\le b_1)& :x\mapsto x^4,& F(a_2\le b_1)& :x\mapsto x^2,\\ F(a_2\le b_2)& :x\mapsto x^3,& F(a_0\le b_2)& :x\mapsto x^4.\end{array}$$

$\mathbf{FinSet}$ における $F$ の極限 $\lim F$ と余極限 $\mathrm{colim}F$（いずれも同型を除いて一意に定まる有限集合）の要素の個数を、この順に組 $(|\lim F|,|\mathrm{colim}F|)$ で求めよ。

$X=\{1,2,3\}$ とし、写像 $X\to X$ 全体のなす集合を $T_3$ とする。$T_3$ は写像の合成 $a\cdot b=a\circ b$ を積とし、恒等写像を単位元とするモノイドである（$|T_3|=27$）。

次のように圏 $\mathcal{K}$ を定める。
- 対象は、$T_3$ の冪等元、すなわち $e\circ e=e$ をみたす $e\in T_3$ である。
- 対象 $e$ から対象 $f$ への射は、$f\circ a\circ e=a$ をみたす $a\in T_3$ である（異なる対象の組に対する射は、同じ写像 $a$ であっても別の射として数える）。
- 射 $a:e\to f$ と $b:f\to g$ の合成は $b\circ a:e\to g$、対象 $e$ の恒等射は $e$ 自身である。

（これは $T_3$ の冪等元完備化（Karoubi 包絡）である。）圏 $\mathcal{K}$ の射の総数、すなわち
$$\sum _{e,f}|{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{K}}(e,f)|$$
（和は $\mathcal{K}$ の対象の順序対 $(e,f)$ 全体にわたる）を求めよ。

半順序集合 $(Q,\le )$ は、対象を $Q$ の元とし、$p\le q$ のときに限り $p$ から $q$ への射がちょうど $1$ つ存在する（それ以外のときは射が存在しない）圏とみなす。

3 つの元 $a,b,c$ からなる集合に、$a\le c$, $b\le c$ と反射律だけで定まる半順序を入れた半順序集合を $\mathcal{P}$ とする（$a$ と $b$ は比較できない）。また $[2]=\{0,1,2\}$ を通常の大小関係 $0<1<2$ による全順序集合とし、これらを上のように圏とみなす。

関手 $\mathcal{P}\to [2]$ を対象とし、それらのあいだの自然変換を射とする関手圏 $[\mathcal{P},[2]]$ を考える。この関手圏の射（自然変換）の総数を求めよ。ただし恒等自然変換も射として数える。

群 $K$ に対し、対象がただ $1$ つ $\ast$ で、射 $\ast \to \ast$ が $K$ の元、射の合成が $K$ の積、恒等射が単位元であるような圏を $\mathbf{B}K$ とする。

$V=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ とし、$D_4=⟨r,s\mid r^4=s^2=1,sr{s}^{-1}=r^{-1}⟩$ を位数 $8$ の二面体群とする。関手 $\mathbf{B}V\to \mathbf{B}{D}_4$ を対象、それらの間の自然変換を射とする関手圏 $[\mathbf{B}V,\mathbf{B}{D}_4]$ を考える。

この関手圏の射の総数、すなわち関手の組 $(F,F^{\prime })$ すべてにわたる自然変換 $F\Rightarrow F^{\prime }$ の個数の和
$$\sum _{F,F^{\prime }}\#\mathrm{Nat}(F,F^{\prime })$$
を求めよ。