圏論の問題

$X=\{1,2,3\}$ とし、写像 $X\to X$ 全体のなす集合を $T_3$ とする。$T_3$ は写像の合成 $a\cdot b=a\circ b$ を積とし、恒等写像を単位元とするモノイドである（$|T_3|=27$）。

次のように圏 $\mathcal{K}$ を定める。
- 対象は、$T_3$ の冪等元、すなわち $e\circ e=e$ をみたす $e\in T_3$ である。
- 対象 $e$ から対象 $f$ への射は、$f\circ a\circ e=a$ をみたす $a\in T_3$ である（異なる対象の組に対する射は、同じ写像 $a$ であっても別の射として数える）。
- 射 $a:e\to f$ と $b:f\to g$ の合成は $b\circ a:e\to g$、対象 $e$ の恒等射は $e$ 自身である。

（これは $T_3$ の冪等元完備化（Karoubi 包絡）である。）圏 $\mathcal{K}$ の射の総数、すなわち
$$\sum _{e,f}|{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{K}}(e,f)|$$
（和は $\mathcal{K}$ の対象の順序対 $(e,f)$ 全体にわたる）を求めよ。

半順序集合 $(P,\le )$ は、対象を $P$ の元とし、$c\le d$ のときに限り $c$ から $d$ への射がちょうど $1$ つ存在する（それ以外のときは射が存在しない）圏とみなす。有限集合と写像のなす圏を $\mathbf{FinSet}$ とする。

$P=\{a_0,a_1,a_2,b_0,b_1,b_2\}$ とする。$P$ 上の半順序 $\le$ は、反射律による $c\le c$ $(c\in P)$ と、次の $6$ つの関係だけからなるものとする。
$$a_0\le b_0,a_1\le b_0,a_1\le b_1,a_2\le b_1,a_2\le b_2,a_0\le b_2$$
（これら以外の異なる $2$ 元の間には順序関係はない。）

${\mathbb{F}}_{13}=\mathbb{Z}/13\mathbb{Z}$ を $13$ 個の元からなる有限集合とみなす。関手 $F:P\to \mathbf{FinSet}$ を、すべての対象 $c\in P$ に対して $F(c)={\mathbb{F}}_{13}$ とし、恒等射を恒等写像に、恒等射以外の $6$ 本の射を次の写像に移すものとして定める（$x\in {\mathbb{F}}_{13}$ であり、べきは ${\mathbb{F}}_{13}$ の乗法で計算する）。
$$\begin{array}{rlrl}F(a_0\le b_0)& :x\mapsto x^2,& F(a_1\le b_0)& :x\mapsto x^3,\\ F(a_1\le b_1)& :x\mapsto x^4,& F(a_2\le b_1)& :x\mapsto x^2,\\ F(a_2\le b_2)& :x\mapsto x^3,& F(a_0\le b_2)& :x\mapsto x^4.\end{array}$$

$\mathbf{FinSet}$ における $F$ の極限 $\lim F$ と余極限 $\mathrm{colim}F$（いずれも同型を除いて一意に定まる有限集合）の要素の個数を、この順に組 $(|\lim F|,|\mathrm{colim}F|)$ で求めよ。

0 以上の整数 $n$ に対して $[n]=\{0,1,\dots ,n\}$ を通常の順序で全順序集合とみなし、対象を $[n](n\ge 0)$、射を（広義）単調写像とする圏を $\Delta$ とする。単体的集合とは関手 $X:{\Delta }^{\mathrm{op}}\to \mathbf{Set}$ のことで、$X_n=X([n])$ とおき、$X_n$ の要素を $n$-単体という。$n\ge 1$ と $0\le i\le n-1$ に対して、全射単調写像 ${\sigma }_i:[n]\to [n-1]$ を
$${\sigma }_i(j)=\{\begin{array}{ll}j& (j\le i)\\ j-1& (j\ge i+1)\end{array}$$
で定める。$x\in X_n$ が退化しているとは、ある $0\le i\le n-1$ と $y\in X_{n-1}$ により $x=X({\sigma }_i)(y)$ と書けることをいい、そうでない単体を非退化という（$0$-単体はすべて非退化）。

0 以上の整数 $p$ に対して $\Delta [p]={\mathrm{Hom}}_{\Delta }(-,[p])$ とし（$\theta :[m]\to [n]$ に対して $\Delta [p](\theta )(f)=f\circ \theta$）、単体的集合 $X,Y$ の積 $X\times Y$ を $(X\times Y{)}_n=X_n\times Y_n$、$(X\times Y)(\theta )=X(\theta )\times Y(\theta )$ で定める。

0 以上の整数 $p,q$ に対して、単体的集合 $\Delta [p]\times \Delta [q]$ は、$n>p+q$ ならば非退化 $n$-単体をもたず、非退化 $(p+q)$-単体をちょうど $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{p+q}{p}\right)$ 個もつことを示せ。

$B=\{0,1,2,\dots ,19\}$ を $20$ 個の元からなる有限集合とする。写像 $f,g:B\to B$ を、$x\in B$ に対して
$$f(x)=(2x\text{ を }20\text{ で割った余り}),g(x)=(3x\text{ を }20\text{ で割った余り})$$
で定める（値はいずれも $0$ 以上 $19$ 以下の整数で、$B$ の元である）。

有限集合を対象とし、写像を射とする圏 $\mathbf{FinSet}$ において、平行な射の組 $f,g:B\rightrightarrows B$ の余等化子 $q:B\to Q$ を考える。すなわち $q\circ f=q\circ g$ を満たし、$h\circ f=h\circ g$ を満たす任意の写像 $h:B\to C$（$C$ は有限集合）に対して $h=u\circ q$ となる写像 $u:Q\to C$ がただ 1 つ存在するような $q:B\to Q$ である。ここで $B$ は単なる有限集合として扱い、群や環などの代数的構造は考えない（余等化子は $\mathbf{FinSet}$ の中でとる）。余等化子は同型を除いて一意なので、$Q$ の元の個数は一意に決まる。$Q$ の元の個数を求めよ。

この問題では、環は可換で単位元 $1$ をもち、環準同型は $1$ を $1$ に移すものとする。$1\ne 0$ であって $0$ 以外のすべての元が乗法の逆元をもつ可換環を体といい、体を対象、環準同型を射とする圏を $\mathbf{Field}$ とする。

有限極限スケッチ $\mathcal{S}=(G,D,L)$ とは、次の組のことをいう。
- $G$ は（有向）グラフ（頂点の集合と辺の集合、各辺の始点と終点）。
- $D$ は、始点と終点が同じである $G$ の道（長さ 0 の道を含む）の組 $(\sigma ,\tau )$ の集合。
- $L$ は錐の集合。各錐は、頂点 $v$、有限グラフ $I$ とグラフの準同型 $\delta :I\to G$、および $I$ の各頂点 $i$ に対する $G$ の辺 ${\lambda }_i:v\to \delta (i)$ からなる。

$\mathcal{S}$ の（$\mathbf{Set}$ での）モデル $M$ とは、$G$ の各頂点 $w$ に集合 $M(w)$ を、各辺 $f:w\to w^{\prime }$ に写像 $M(f):M(w)\to M(w^{\prime })$ を対応させたもので、次の 2 条件を満たすものとする。
- $D$ の各組 $(\sigma ,\tau )$ について、道に沿った写像の合成が等しい（長さ 0 の道は恒等写像と読む）。
- $L$ の各錐 $(v,\delta ,({\lambda }_i))$ について、$I$ の頂点 $i$ にわたる直積の部分集合
$$\Lambda =\{(x_i{)}_i\in \prod _{i}M(\delta (i))|I\text{ の各辺 }a:i\to j\text{ について }M(\delta (a))(x_i)=x_j\}$$
を考えたとき、写像 $x\mapsto (M({\lambda }_i)(x){)}_i$ が $M(v)$ から $\Lambda$ への全単射である（$I$ の頂点がないとき ${\prod }_{i}M(\delta (i))$ は 1 点集合とする）。

モデル $M$ から $N$ への射は、写像の族 ${\alpha }_w:M(w)\to N(w)$（$w$ は $G$ の頂点全体を動く）で、$G$ のすべての辺 $f:w\to w^{\prime }$ について $N(f)\circ {\alpha }_w={\alpha }_{w^{\prime }}\circ M(f)$ を満たすものとし、合成は成分ごとの合成で定める。この圏を $\mathbf{Mod}(\mathcal{S})$ とする。

どのような有限極限スケッチ $\mathcal{S}$ に対しても、$\mathbf{Field}$ は $\mathbf{Mod}(\mathcal{S})$ と圏同値でないことを証明せよ。ただし、圏同値を与える関手は充満忠実かつ本質的全射であることは用いてよい。