圏論の問題

集合 $X$ と二項演算 $X\times X\to X,(x,y)\mapsto x\ast y$ と元 $e\in X$ の組 $(X,\ast ,e)$ で、すべての $x,y\in X$ に対して $x\ast y=y\ast x$ かつ $e\ast x=x$ を満たすものを単位的可換マグマという（結合法則は仮定しない）。$(X,\ast ,e)$ から $(X^{\prime },{\ast }^{\prime },e^{\prime })$ への射を、$h(x\ast y)=h(x){\ast }^{\prime }h(y)$ と $h(e)=e^{\prime }$ を満たす写像 $h:X\to X^{\prime }$ とし、この圏を $\mathbf{CUMag}$ とする。

次の有限積スケッチ $\mathcal{S}$ を考える。
- グラフ: 頂点は $1,A,P$ の 3 つ。辺は
$$p_1,p_2:P\to A,m:P\to A,t:P\to P,u:1\to A,k:A\to 1,r:A\to P$$
の 7 本。
- 可換であるべき図式（道の等式。${\mathrm{id}}_A$ は長さ 0 の道）:
$$p_1\circ t=p_2,p_2\circ t=p_1,m\circ t=m,p_1\circ r={\mathrm{id}}_A,p_2\circ r=u\circ k,m\circ r={\mathrm{id}}_A.$$
- 錐: 頂点 $1$ をもつ空の図式上の錐 ${\lambda }_0$ と、頂点 $P$ をもち 2 つの頂点 $A,A$ からなる離散図式上の錐 ${\lambda }_2=(p_1,p_2)$ の 2 つ。

$\mathcal{S}$ の（集合の圏 $\mathbf{Set}$ での）モデル $M$ とは、各頂点 $v$ に集合 $M(v)$ を、各辺 $f:v\to w$ に写像 $M(f):M(v)\to M(w)$ を対応させたもので、上の 6 つの等式が写像の等式として成り立ち（${\mathrm{id}}_A$ は $M(A)$ の恒等写像と読む）、錐 ${\lambda }_0,{\lambda }_2$ を $\mathbf{Set}$ の極限錐に移すものとする。すなわち $M(1)$ は 1 点集合であり、写像 $c_M=(M(p_1),M(p_2)):M(P)\to M(A)\times M(A)$ は全単射である。モデル $M$ から $N$ への射とは、写像の族 ${\alpha }_v:M(v)\to N(v)(v=1,A,P)$ で、すべての辺 $f:v\to w$ に対して $N(f)\circ {\alpha }_v={\alpha }_w\circ M(f)$ を満たすものとし、合成は成分ごとの合成で定める。この圏を $\mathbf{Mod}(\mathcal{S})$ とする。

モデル $M$ に対して $M(1)=\{{\ast }_M\}$ とし、$M(A)$ 上の演算と元を
$$x\ast y=M(m)(c_M^{-1}(x,y)),e=M(u)({\ast }_M)$$
で定め、モデルの射 $\alpha$ に ${\alpha }_A$ を対応させる。この対応 $\Phi$ が関手 $\Phi :\mathbf{Mod}(\mathcal{S})\to \mathbf{CUMag}$ を定め、圏同値であることを証明せよ。

ただし、充満忠実かつ本質的全射な関手は圏同値であることは用いてよい。

集合 $X$ とその上の同値関係 $\sim$ の組 $(X,\sim )$ を対象とし、$(X,\sim )$ から $(X^{\prime },{\sim }^{\prime })$ への射を「$x\sim y$ ならば $h(x){\sim }^{\prime }h(y)$」を満たす写像 $h:X\to X^{\prime }$ とする圏を $\mathbf{Eq}$ とする。

この問題では、有限極限スケッチを次のように定める。グラフ $G$（頂点・辺と各辺の始点・終点）、$G$ の道の等式の集合、錐の集合の組であり、各錐は、頂点 $v$、$v$ を始点とする辺の有限列 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$（${\lambda }_j$ の終点を $w_j$ とする）、および「$f(y_j)=g(y_k)$」の形の制約（$y_j$ は $j$ 番目の脚 ${\lambda }_j$ に対応する変数、$f,g$ は $w_j,w_k$ をそれぞれ始点とし同じ終点をもつ辺）の有限集合からなる。

次のスケッチ $\mathcal{S}$ を考える。
- 頂点: $V,R,P,Q$。
- 辺（9 本）: $s,t:R\to V$、$\rho :V\to R$、$\sigma :R\to R$、${\pi }_1,{\pi }_2:P\to R$、$c:P\to R$、$q_1,q_2:Q\to R$。
- 道の等式（${\mathrm{id}}_V$ は長さ 0 の道）:
$$\begin{array}{rl}& (\mathrm{E}1)s\circ \rho ={\mathrm{id}}_V,(\mathrm{E}2)t\circ \rho ={\mathrm{id}}_V,(\mathrm{E}3)s\circ \sigma =t,(\mathrm{E}4)t\circ \sigma =s,\\ & (\mathrm{E}5)s\circ c=s\circ {\pi }_1,(\mathrm{E}6)t\circ c=t\circ {\pi }_2,(\mathrm{E}7)q_1=q_2.\end{array}$$
- 錐: $({\mathrm{L}}_P)$ 頂点 $P$、脚 ${\pi }_1,{\pi }_2$（この順に $y_1,y_2$ に対応する）、制約 $t(y_1)=s(y_2)$（$t$ と $s$ の引き戻し）。$({\mathrm{L}}_Q)$ 頂点 $Q$、脚 $q_1,q_2$（この順に $y_1,y_2$ に対応する）、制約 $s(y_1)=s(y_2)$ と $t(y_1)=t(y_2)$。

$\mathcal{S}$ の（$\mathbf{Set}$ での）モデル $M$ とは、各頂点 $w$ に集合 $M(w)$ を、各辺 $f:w\to w^{\prime }$ に写像 $M(f):M(w)\to M(w^{\prime })$ を対応させたもので、(E1)〜(E7) が写像の等式として成り立ち（${\mathrm{id}}_V$ は恒等写像と読む）、各錐について、写像 $x\mapsto (M({\lambda }_1)(x),\dots ,M({\lambda }_n)(x))$ が $M(v)$ から
$${\Lambda }^M=\{(y_1,\dots ,y_n)\in M(w_1)\times \cdots \times M(w_n)\mid \text{すべての制約 }M(f)(y_j)=M(g)(y_k)\text{ が成り立つ}\}$$
への全単射であるものとする。$M(s),M(t)$ の組が単射であること（$M(R)$ を $M(V)\times M(V)$ の部分集合とみなせること）はモデルの条件に含めていないが、錐 $({\mathrm{L}}_Q)$ と (E7) から導かれる。モデル $M$ から $N$ への射は、写像の族 ${\alpha }_w:M(w)\to N(w)(w=V,R,P,Q)$ で、9 本の辺 $f:w\to w^{\prime }$ すべてについて $N(f)\circ {\alpha }_w={\alpha }_{w^{\prime }}\circ M(f)$ を満たすものとし、合成は成分ごとに行う。この圏を $\mathbf{Mod}(\mathcal{S})$ とする。

モデル $M$ に対し、$M(V)$ 上の関係 ${\sim }_M$ を「$x{\sim }_{M}y⟺M(s)(r)=x,M(t)(r)=y$ を満たす $r\in M(R)$ が存在する」で定め、$\Phi (M)=(M(V),{\sim }_M)$、モデルの射 $\alpha$ に対し $\Phi (\alpha )={\alpha }_V$ とおく。$\Phi$ が関手 $\mathbf{Mod}(\mathcal{S})\to \mathbf{Eq}$ を定め、圏同値であることを証明せよ。

ただし、充満忠実かつ本質的全射な関手は圏同値であることは用いてよい。

集合 $A,B$ と全射 $f:A\to B$ の組 $(A,B,f)$ を対象とし、$(A,B,f)$ から $(A^{\prime },B^{\prime },f^{\prime })$ への射を $f^{\prime }\circ u=v\circ f$ を満たす写像の組 $(u,v)$（$u:A\to A^{\prime },v:B\to B^{\prime }$）とし、合成を成分ごとに行う圏を $\mathbf{Surj}$ とする。

次のスケッチ $\mathcal{S}$ を考える。
- グラフ: 頂点は $A,B,K$、辺は $f:A\to B$、$k_1,k_2:K\to A$ の 3 本。
- 可換であるべき図式: なし。
- 錐 $(\mathrm{L})$（$f$ と $f$ の引き戻し）: 頂点 $K$、脚 $k_1,k_2$。
- 余錐 $(\mathrm{C})$（$k_1,k_2$ の余等化子）: 頂点 $B$、底の図式は平行な 2 辺 $k_1,k_2:K\to A$、脚は $f:A\to B$。

$\mathcal{S}$ の（$\mathbf{Set}$ での）モデル $M$ とは、各頂点 $w$ に集合 $M(w)$ を、各辺に写像 $M(f):M(A)\to M(B)$、$M(k_1),M(k_2):M(K)\to M(A)$ を対応させたもので、次の 2 条件を満たすものとする。
- （錐の条件）写像 $x\mapsto (M(k_1)(x),M(k_2)(x))$ が、$M(K)$ から
$${\Lambda }^M=\{(a,a^{\prime })\in M(A)\times M(A)\mid M(f)(a)=M(f)(a^{\prime })\}$$
への全単射である。
- （余錐の条件）$M(f)\circ M(k_1)=M(f)\circ M(k_2)$ であり、さらに任意の集合 $Z$ と $g\circ M(k_1)=g\circ M(k_2)$ を満たす任意の写像 $g:M(A)\to Z$ に対して、$w\circ M(f)=g$ を満たす写像 $w:M(B)\to Z$ がただ 1 つ存在する。

$M(f)$ が全射であることはモデルの条件に含めていない（上の 2 条件から導かれることも、示すべきことの一部である）。

モデル $M$ から $N$ への射は、写像の族 ${\alpha }_w:M(w)\to N(w)(w=A,B,K)$ で、3 本の辺 $e:w\to w^{\prime }$ すべてについて $N(e)\circ {\alpha }_w={\alpha }_{w^{\prime }}\circ M(e)$ を満たすものとし、合成は成分ごとに行う。この圏を $\mathbf{Mod}(\mathcal{S})$ とする。

対応 $\Phi (M)=(M(A),M(B),M(f))$、$\Phi (\alpha )=({\alpha }_A,{\alpha }_B)$ が関手 $\Phi :\mathbf{Mod}(\mathcal{S})\to \mathbf{Surj}$ を定め、圏同値であることを証明せよ。

ただし、充満忠実かつ本質的全射な関手は圏同値であることは用いてよい。

$M$ をモノイド（積を $mn$、単位元を $e$ と書く）とする。集合 $A$ と写像 $M\times A\to A,(m,a)\mapsto m\cdot a$ の組で、すべての $m,n\in M,a\in A$ に対して $e\cdot a=a$ かつ $m\cdot (n\cdot a)=(mn)\cdot a$ を満たすものを左 $M$ 集合という。左 $M$ 集合を対象とし、$M$ 同変写像（$h(m\cdot a)=m\cdot h(a)$ を満たす写像 $h$）を射とする圏を $M\text{-}\mathbf{Set}$ とし、作用を忘れる関手を $U:M\text{-}\mathbf{Set}\to \mathbf{Set}$ とする。

集合 $X$ に対し、$M$ から $X$ へのすべての写像の集合を $R(X)$ とし、$m\in M,f\in R(X)$ に対して $m\cdot f\in R(X)$ を
$$(m\cdot f)(n)=f(nm)(n\in M)$$
で定める。また、写像 $g:X\to Y$ に対し $R(g):R(X)\to R(Y)$ を $R(g)(f)=g\circ f$ で定める。

次を証明せよ: $R$ は関手 $\mathbf{Set}\to M\text{-}\mathbf{Set}$ を定め、左 $M$ 集合 $A$ と集合 $X$ に対して
$${\Phi }_{A,X}:{\mathrm{Hom}}_{M\text{-}\mathbf{Set}}(A,R(X))\to {\mathrm{Hom}}_{\mathbf{Set}}(U(A),X),{\Phi }_{A,X}(\phi )(a)=\phi (a)(e)$$
で定まる写像は全単射であり、$A$ と $X$ について自然である。すなわち $U$ は $R$ の左随伴である（$U⊣R$）。

この問題では、環は単位元 $1$ をもつ可換環とし、環準同型は $1$ を $1$ に移すものとする。${\mathbb{F}}_3=\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ とする。

可換 ${\mathbb{F}}_3$ 代数 $A$ であって、すべての $a\in A$ について $a^3=a$ を満たすもの全体を対象とし、${\mathbb{F}}_3$ 代数の準同型を射とする圏を $\mathcal{C}$ とする。忘却関手 $U:\mathcal{C}\to \mathbf{Set}$（$A$ をその台集合に送る）と、その直積 $U\times U:\mathcal{C}\to \mathbf{Set}$, $A\mapsto U(A)\times U(A)$ を考える。

自然変換 $U\times U\Rightarrow U$ の個数を求めよ。